ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Электростатика. Задача 23.13

[Александр Сакович]

23.13 (26.13). Две частицы с отношением зарядов q₂/q₁ = 2 движутся в однородном электрическом поле. Начальная скорость у обеих частиц равна нулю. Определите отношение масс m₂/m₁ этих частиц, если отношение их кинетических энергий в один и тот же момент времени после начала движения W_k2/W_k1 = 2. Действием силы тяжести пренебречь.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Получим формулу, связывающую между собой заряд частицы q, его массу m и кинетическую энергию W_k.
Так как силой тяжести частицы пренебрегаем, то на нее действует только электрическое поле с силой F. В ту же сторону, что и сила, будет направлено ускорение частицы. Запишем второй закон Ньютона
\[m \cdot a=F,\]
где \( F= q \cdot E. \) Тогда
\[m \cdot a=q \cdot E,\ \ a=\frac{q \cdot E}{m}.\]
Частица движется равноускоренно. Запишем уравнение проекции скорости для равноускоренного движения (все величины направлены в одну сторону, υ₀ = 0 м/с) и кинетической энергии частицы в момент времени t = t₁
\[\upsilon =\upsilon _0+a \cdot t_1=a \cdot t_1=\frac{q \cdot E \cdot t_1}{m},\]
\[W_k=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}=\frac{m}{2} \cdot {{\left( \frac{q \cdot E \cdot t_1}{m} \right)}^2}=\frac{q^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{2m}.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух частиц
\[W_{k1}=\frac{q_1^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{2m_1},\ \ W_{k2}=\frac{q_2^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{2m_2},\]
где по условию \( \frac{q_2}{q_1}=2\ \text{или}\ q_2=2q_1,\ \ \frac{W_{k2}}{W_{k1}}=2\ \text{или}\ W_{k2}=2W_{k1}. \) С учетом условия получаем
\[m_1=\frac{q_1^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{2W_{k1}},\ \ m_2=\frac{q_2^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{2W_{k2}}=\frac{4q_1^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{4W_{k1}}= \frac{q_1^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{W_{k1}}.\]
Тогда
\[\frac{m_2}{m_1}=\frac{q_1^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}{W_{k1}} \cdot \frac{2W_{k1}}{q_1^2 \cdot E^2 \cdot t_1^2}=2.\]
Ответ: 2.