ЕГЭ 2023. Анализ ошибок. Пример 20

[Александр Сакович]

Пример 20. В маленький шар массой M = 230 г, висящий на нити длиной l = 50 см, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля. Минимальная скорость пули υ_п0, при которой шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости, равна 120 м/с. Чему равна масса пули? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

[Александр Сакович]

Авторское решение. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела считаем материальными точками.
Для описания взаимодействия пули и шара использован закон сохранения импульса системы тел, который связывает скорость пули υ₀ перед ударом со скоростью υ₁ составного тела массой m + M сразу после удара. В данном случае проекции внешних сил (силы тяжести и силы натяжения нити) на горизонтальную ось в момент взаимодействия равны нулю. Следовательно, можно использовать закон сохранения импульса в проекциях на эту ось:
\[m \cdot \upsilon _{\text{п0}}=\left( M+m \right) \cdot \upsilon_1.\]
Для дальнейшего движения шара с застрявшей в нём пулей будет справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку сопротивлением воздуха по условию задачи можно пренебречь, а единственная непотенциалъная сила, действующая на шар, — сила натяжения нити - при движении шара по окружности совершает работу равную нулю, поскольку она всюду перпендикулярна скорости движения шара.
\[\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _1^2}{2}=\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _2^2}{2}+\left( M+m \right) \cdot g \cdot 2l,\]
где υ₂— скорость шара в верхней точке траектории.
Условие минимальности υ₀ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Второй закон Ньютона в проекциях на радиальное направление x в верхней точке принимает вид
\[\left( M+m \right) \cdot g=\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _2^2}{l}.\]
Выразив отсюда υ₂² и подставив этот результат в закон сохранения энергии, получим:
\[\upsilon_1=\sqrt{5g \cdot l}.\]
Подставив выражение для υ₁ в закон сохранения импульса, получим:
\[m=\frac{M \cdot \sqrt{5g \cdot l}}{\upsilon _{\text{п0}}-\sqrt{5g \cdot l}} =\frac{0,23 \cdot \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0,5}}{120-\sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0,5}} =0,01\ \text{кг}.\]
Ответ: m = 10 г.

[Александр Сакович]

Решение. Рассмотрим вначале процесс столкновения пули и шара (неупругий удар), затем движение системы шар-пуля на нити.
Процесс столкновения пули и шара. В момент столкновения проекции внешних сил (силы тяжести m·g и натяжения подвеса T) на горизонтальную ось равны нулю, поэтому можно использовать закон сохранения импульса системы тел пуля-шар в проекциях на эту ось (см. рисунок 1):

\[0X:\ \ m_{\text{п}} \cdot \upsilon _{\text{п0}}=\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon ,\ \ \ (1)\]
где по условию υ_п0 = 120 м/с.
Процесс движения системы шар-пуля на нити. Так как силой сопротивления, по условию, пренебрегаем, а работа силы натяжения T нити будет равна нулю (сила T при движении по окружности всегда перпендикулярна скорости движения шара), то можем применять закон сохранения энергии.
За нулевую высоту примем высоту, на которой находится шар в нижнем положении (см. рисунок 2).

Полная механическая энергия системы шар-пуля в начальном состоянии
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{кин0}}=\frac{\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon ^2}{2}.\]
Для груза на гибком подвесе (нити) минимальная скорость груза υ = υ_min в нижней точке соответствует случаю, когда сила натяжения подвеса в верхней точке будет чуть больше нуля (Т ≈ 0), поэтому шар будет иметь скорость υ_к.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
\[E_{\text{мех}}=E_{\text{кин}}+E_{\text{пот}}=\frac{\left( M+ m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon _{\text{к}}^2}{2}+\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot g \cdot h,\]
где h = 2l.
Запишем закон сохранения механической энергии:
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{мех}},\ \ \frac{\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon ^2}{2}= \frac{\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon _{\text{к}}^2}{2}+\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot g \cdot 2l.\]
\[\frac{\upsilon ^2}{2}=\frac{\upsilon _{\text{к}}^2}{2}+2g \cdot l,\ \ \upsilon ^2= \upsilon _{\text{к}}^2+4g \cdot l.\ \ \ (2)\]
Найдем квадрат скорости υ_к шарика-пули в верхней точке окружности. На систему шарик-пуля вверху действуют сила тяжести и сила натяжение подвеса T. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок 2). Так как шар маленький, то его можно представить как материальная точка. Запишем второй закон Ньютона:
\[\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \vec{a}_{\text{ц}}= \vec{T}+\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \vec{g},\ \ 0Y:\ -\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot a_{\text{ц}}= T_y- \left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot g,\]
где \( a_{\text{ц}}= \frac{\upsilon _{\text{к}}^2}{l},\ \ T_y \approx 0  \) (это соответствует минимальному значению скорости υ). Тогда
\[\left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot \frac{\upsilon _{\text{к}}^2}{l}= \left( M+m_{\text{п}} \right) \cdot g,\ \ \upsilon _{\text{к}}^2=g \cdot l.\ \ \ (3)\]
Решим систему уравнений (1)-(3). Например, подставим уравнение (3) в (2), а затем в (1):
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _{\text{к}}^2+4g \cdot l}=\sqrt{g \cdot l+4g \cdot l}= \sqrt{5g \cdot l},\] 
\[m_{\text{п}} \cdot \left( \upsilon _{\text{п0}}-\upsilon  \right)=M \cdot \upsilon ,\ \ m_{\text{п}}=\frac{M \cdot \upsilon }{\upsilon _{\text{п0}}-\upsilon }=\frac{M \cdot \sqrt{5g \cdot l}}{\upsilon _{\text{п0}}-\sqrt{5g \cdot l}},\]

m_п = 0,01 кг.

Ответ: m = 10 г.