ЕГЭ 2023. Анализ ошибок. Пример 16-1

[Александр Сакович]

Пример 16-1. Лазер испускает световой импульс с энергией E = 3 Дж и длительностью τ = 10 нс. Свет от лазера падает перпендикулярно на плоское зеркало площадью S = 10 см², полностью отражающее падающий на него световой импульс. Какое среднее давление окажет свет на зеркало?
Ответ: ____ Па.

По квантовой физике более успешно экзаменуемые справились с решением задач на движение фотоэлектронов в электрическом поле и на применение законов сохранения импульса и энергии к реакции синтеза. Затруднения вызвала задача на давление света, с ней смогли справиться лишь 6%.
Основное затруднение — определение изменения импульса фотонов при отражении от зеркала: \( \Delta p_{\text{ф}}=\frac{2h \cdot \nu }{c}, \) где ν — частота света, излучаемого лазером, h — постоянная Планка, c — скорость света в вакууме. К сожалению, механизм возникновения давления света и различия при полном поглощении и отражении остаются сложными для осмысления даже сильными выпускниками.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

[Александр Сакович]

Решение. Давление света p_давл на поверхность зеркала можно рассчитать через изменение импульса падающих фотонов.
Пусть за время τна поверхность падает N₁ фотон, а N₂ фотонов отражается (см. рисунок).

По условию фотоны отражается полностью, поэтому

N₁ = N₂ = N.

При ударе о поверхность зеркала фотоны давят на нее с силой F₁. По третьему закону Ньютона, с какой силой F₁ фотоны лазерного пучка давят на пластину, с такой же по величине, но противоположной по направлению, силой F₂ пластина действует на фотоны, т.е. F₂ = F₁. Сила F₂ и вызывает изменение импульса фотонов при ударе.
Запишем закон изменения импульса всех падающих фотонов за время τ и учтем, что значение импульса одного фотона при отражении не изменяется, т.е. p = p₀:
\[\vec{F}_2 \cdot \tau =N_2 \cdot \vec{p}-N_1 \cdot \vec{p}_0,\]
\[0Y:\ F_{2y} \cdot \tau =N_2 \cdot p-\left( -N_1 \cdot p_0 \right)=N \cdot p+N \cdot p=2N \cdot p,\]
\[F_1=F_{2y}=\frac{2N \cdot p}{\tau }.\]
Тогда давление света p_давл будет равно
\[p_{\text{давл}}=\frac{F_1}{S}=\frac{2N \cdot p}{\tau \cdot S}=\frac{2N}{\tau \cdot S}\cdot p.\ \ \ (1)\]
Пусть E₁ — это энергия одного фотона. Тогда световой импульс длительностью τ будет обладать энергией
\[E=N_1 \cdot E_1.\ \ \ (2)\]
Энергия E₁ одного фотона и его импульс p связаны следующим соотношением
\[E_1=p \cdot c.\ \ \ (3)\]
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[E_1=\frac{E}{N_1}=\frac{E}{N},\ \ p=\frac{E_1}{c}=\frac{E}{c \cdot N},\]
\[p_{\text{давл}}=\frac{2N}{\tau \cdot S} \cdot \frac{E}{c \cdot N}=\frac{2E}{c \cdot \tau \cdot S},\]

p_давл = 2000 Па.

Ответ: 2000 Па.