ЕГЭ 2023. Анализ ошибок. Пример 3

[Александр Сакович]

Пример 3. Индуктивность катушки идеального колебательного контура L = 0,1 Гн. Какой должна быть индуктивность L_x катушки в контуре (см. рисунок), чтобы при переводе ключа K из положения 1 в положение 2 частота собственных электромагнитных колебаний в контуре уменьшилась в 3 раза?

Ответ: ____ Гн.

Средний процент выполнения — 34.

Среди заданий по электродинамике традиционно затруднения вызывают задания на сравнение периода колебаний в колебательном контуре при изменении индуктивности катушки; на определение ЭДС индукции в проводнике по графику зависимости силы тока от времени; на расчёт магнитного потока и энергии магнитного поля катушки с током.
Такие задания давно используются в КИМ ЕГЭ, есть в открытом банке и различных сборниках для подготовки к экзамену. Очевидно, целесообразно уделить внимание пониманию электрической схемы, поскольку (как показывают результаты прошлых лет) формула Томсона хорошо знакома участникам экзамена.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

[Александр Сакович]

Решение. Период колебательного контура равен
\[T=2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}.\]
Тогда частота колебаний будет равна
\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух колебательных контуров: 1) с индуктивностью L₁ и электроемкостью C, 2) с индуктивностью L₂ = L_x и электроемкостью С (электроемкость конденсатора не изменяется):
\[\nu_1=\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L_1 \cdot C}},\ \ \nu_2=\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C}},\]
где ν₁ = 3ν₂ (по условию частота уменьшилась в 3 раза). Решим систему уравнений, например
\[\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{3\nu_2}{\nu_2}=3=\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L_1 \cdot C}}\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L_2 \cdot C}=\sqrt{\frac{L_2}{L_1}},\]
\[\frac{L_2}{L_1}={{3}^{2}}=9,\ \ L_2={{L}_{x}}=9L_1,\]

L_x = 0,9 Гн.

Ответ: 0,9 Гн.