ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Электростатика. Задача 23.5

[Александр Сакович]

23.5 (26.5). На рисунке показан вектор напряжённости E электростатического поля в точке C, созданного двумя точечными зарядами q_A и q_B. Чему равен заряд q_B, если заряд q_A равен +30 нКл?

Ответ: ____ нКл.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. В точке С электрическое поле создано зарядами q_А и q_В. Результирующая напряженность полей, по принципу суперпозиций, в точке С будет равна
\[\vec{E}=\vec{E}_A+\vec{E}_B.\]
Проведем прямую 1, проходящую через точку С и заряд q_A, и прямую 2, проходящую через точку С и заряд q_В. Разложим вектор E на составляющие E_A и E_B, проходящие вдоль прямых 1 и 2. Для этого построим параллелограмм, диагональю которого является вектор E, а две стороны лежали на прямых 1 и 2. Составляющие E_A и E_B будут являться сторонами этого параллелограмма и выходить из точки С (см. рисунок 1).

Выберем масштаб: для напряженностей размер одной клеточки обозначим e, для расстояний — x.
Через точку С проведем ось 0Х влево, ось 0Y вверх. Построим проекции векторов E_A и E_B на оси 0Х и 0Y (см. рисунок 2). Из рисунка найдем в условных единицах e значения проекций и модуль векторов E_A и E_B
\[E_{Bx}=3e,\ \ E_{By}=-2e,\ \ E_B=\sqrt{E_{Bx}^{2}+E_{By}^{2}}=\sqrt{9e^2+4e^2}=e \cdot \sqrt{13},\ \ \ (1)\]
\[E_{Ax}=6e,\ \ E_{Ay}=4e,\ \ E_A=\sqrt{E_{Ax}^2+E_{Ay}^2}=\sqrt{36e^2+16e^2}=e \cdot \sqrt{52}.\ \ \ (2)\]
С другой стороны напряженности полей, создаваемые точечными зарядами q_A и q_D, равны
\[E_A=k \cdot \frac{\left| q_A \right|}{r_1^2},\ \ E_B=k \cdot \frac{\left| q_B \right|}{r_2^2},\]
где
\[r_1^2={{\left( 3x \right)}^2}+{{\left( 2x \right)}^2}=13x^2,\ \ r_2^2={{\left( 3x \right)}^2}+{{\left( 2x \right)}^2}=13x^2\]
(см. рисунок 2). Тогда с учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[E_A=\frac{k \cdot \left| q_A \right|}{13x^2}=e \cdot \sqrt{52},\ \ E_B=\frac{k \cdot \left| q_B \right|}{13x^2}=e \cdot \sqrt{13}.\]
Решим систему полученных уравнений и учтем, что \( \sqrt{52}=2 \cdot \sqrt{13}. \) Например,
\[\frac{k\cdot \left| q_A \right|}{13x^2} \cdot \frac{13x^2}{k \cdot \left| q_B \right|}=\frac{2e \cdot \sqrt{13}}{e \cdot \sqrt{13}},\ \ \frac{\left| q_A \right|}{\left| q_B \right|}=2,\ \ \left| q_B \right|=\frac{\left| q_A \right|}{2},\ \ \left| q_B \right|=15\ \text{нКл}.\]
Так как напряженность E_B направлена к заряду q_B, то q_B < 0 и

q_B = –15 нКл.

Ответ: –15 нКл.