ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Молекулярная. Задача 9.20

[Александр Сакович]

9.20 (12.20). Сосуд разделён на две равные по объёму части пористой неподвижной перегородкой. В левой части сосуда содержится 8 г гелия, в правой — 1 моль аргона. Перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул аргона. Температура газов одинакова и остаётся постоянной.
Выберите два верных утверждения, описывающие состояние газов после установления равновесия в системе.
1) Внутренняя энергия гелия в сосуде больше, чем внутренняя энергия аргона.
2) Концентрация гелия и аргона в правой части сосуда одинакова.
3) В правой части сосуда общее число молекул газов в 2 раза меньше, чем в левой части.
4) Внутренняя энергия гелия в сосуде в конечном состоянии больше, чем в начальном.
5) Давление в обеих частях сосуда одинаково.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) По условию перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул аргона. Следовательно, часть гелия переходит из одной части сосуда в другу. Аргон остается в своей части сосуда.
Введем обозначения: V₁ и V₂ — это объемы частей сосуда; p₀₁ и p₀₂ — это начальные парциальные давления гелия и аргона соответственно; p₁, p₂ и p₃ — это конечные парциальные давления гелия и аргона; ν₀₁ и ν₀₂ — это начальные количества вещества гелия и аргона; ν₁, ν₂ и ν₃ — это конечные количества вещества гелия и аргона; T₁ и T₂ — температуры гелия и аргона (см. рисунок). С индексами «3» обозначены параметры гелия в правой части сосуда.

2) По условию сосуд разделён на две равные по объёму части неподвижной перегородкой, поэтому V₁ = V₂ = V и они не изменяются.
3) По условию температура газов одинакова и остаётся постоянной, т.е. T₁ = T₂ = T = const.
4) Так как аргон остается в своей части сосуда, то его параметры не поменяются, т.е. p₀₂ = p₂, ν₀₂ = ν₂.
5) По условию количество вещества аргона ν₀₂ = 1 моль, масса гелия m₀₁ = 8 г. Тогда
\[\nu _{01}=\frac{{{m}_{01}}}{{{M}_{1}}}=\frac{8}{4}=2\ \text{}\text{,}\]
где M₁ = 4 г/моль — молярная масса гелия (см. Справочные данные, таблицу «Молярная масса»).
6) Гелий будет переходить во вторую часть сосуда до тех пор, пока парциальные давления гелия с двух сторон перегородки не станут одинаковыми, т.е. p₁ = p₃.
7) Количества вещества ν₃ гелия в правой части сосуда найдем из уравнений Менделеева-Клапейрона, которые запишем для гелия в конечном состоянии в левой части сосуда с параметрами p₁, ν₁, V₁, T₁ и в правой части сосуда с параметрами p₃, ν₃, V₂, T₂:
\[p_1 \cdot V_1=\nu _1 \cdot R \cdot T_1,\ \ p_3 \cdot V_2=\nu _3 \cdot R \cdot T_2,\]
где V₁ = V₂ = V, T₁ = T₂ = T, p₁ = p₃ = p (см. анализ условия пункты 2, 3 и 6). Тогда
\[\nu _1=\frac{p_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1}=\frac{p \cdot V}{R \cdot T},\ \ \nu _3=\frac{p_3 \cdot V_2}{R \cdot T_2}=\frac{p \cdot V}{R \cdot T}.\]
Из данных уравнений получаем, что ν₁ = ν₃. Тогда
\[\nu _{01}=\nu _1+\nu _3=2\nu _3,\ \ \nu _1=\nu _3=\frac{\nu _{01}}{2}=\frac{2}{2}=1\ \text{моль}.\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Внутренняя энергия гелия в сосуде больше, чем внутренняя энергия аргона.
Гелий и аргон — это одноатомные газ, поэтому их внутренние энергии U можно рассчитать по формуле
\[U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot T.\]
По условию температуры газов равны T₁ = T₂ = T (см. анализ условия пункт 3), количества вещества гелия ν₀₁ во всем сосуде больше, чем у аргона ν₀₂ (см. анализ условия пункт 5, ν₀₁ = 2 моль, ν₀₂ = 1 моль). Тогда из полученного уравнения следует, что внутренняя энергия U₁ гелия в сосуде больше, чем внутренняя энергия U₂ аргона.
Утверждение № 1 верное.

2) Концентрация гелия и аргона в правой части сосуда одинакова.
Концентрацию n молекул газа равна
\[n=\frac{N}{V},\]
где число молекул N газа найдем следующим образом
\[\nu =\frac{N}{N_A},\ \ N=\nu \cdot N_A.\]
Тогда
\[n=\frac{\nu \cdot N_A}{V}.\]
По условию газы находятся в одной части сосуда, т.е. у них один и тот же объем, а N_A — постоянная величина. Количества вещества гелия ν₃ в правой части сосуда равно количеству вещества аргона ν₀₂ (см. анализ условия пункт 7, ν₀₂ = 1 моль, ν₃ = 1 моль). Тогда из полученного уравнения следует, что концентрация гелия и аргона в правой части сосуда одинакова.
Утверждение № 2 верное.

3) В правой части сосуда общее число молекул газов в 2 раза меньше, чем в левой части.
Из уравнений для давления p газа и его концентрации n получаем
\[p=n \cdot k \cdot T,\ \ n=\frac{N}{V},\]
\[p=\frac{N}{V} \cdot k \cdot T,\ \ N=\frac{p \cdot V}{k \cdot T}.\]
В левой и правой частях сосуда равные объемы V₁ = V₂ и температуры T₁ = T₂ (см. анализ условия пункты 2 и 3), k — постоянная величина. Так как парциальные давления гелия с двух сторон перегородки равны p₁ = p₃ (см. анализ условия пункт 6), то из полученного уравнения следует, что число молекул N гелия в левой и правой частях сосуда так же равны. Но в правой части сосуда есть еще аргон, поэтому общее число молекул справа будет больше.
Утверждение № 3 неверное.

4) Внутренняя энергия гелия в сосуде в конечном состоянии больше, чем в начальном.
Гелий одноатомный газ и его внутренняя энергия U равна
\[U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot T.\]
При переходе гелия из левой части сосуда в правую его количество вещества ν во всем сосуде и температура T не изменяются, поэтому и внутренняя энергия U гелия во всем сосуде так же изменяться не будет.
Утверждение № 4 неверное.

5) Давление в обеих частях сосуда одинаково.
В утверждении не указано про какое давление идет речь: в начальный момент времени или в конечный. Рассмотрим оба варианта.
В начальный момент времени давления газов будут равны
\[p_{01}=\nu _{01} \cdot R \cdot T_1,\ \ p_{02}=\nu _{02} \cdot R \cdot T_2.\]
По условию температура газов одинакова T₁ = T₂, а количество вещества гелия ν₀₂ = 2 моль больше, чем количество вещества аргона ν₀₂ = 1 моль (см. анализ условия пункты 3 и 5). Тогда
\[p_{01}>p_{02}.\]
В конечный момент времени парциальные давления гелия с двух сторон перегородки равны p₁ = p₃ (см. анализ условия пункт 6). Но в правой части сосуда находится еще аргон с давлением p₂. Тогда давление слева — p_лев = p₁, а давление справа по закону Дальтона равно p_прав = p₁ + p₂. В итоге получаем, что
\[p_{\text{лев}}<p_{\text{прав}}.\]
Следовательно, давления не равны и в начальный момент времени, и в конечный.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 12.