ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Задача 22.23

[Александр Сакович]

22.23 (25.23). Нить, удерживающая вертикально расположенную лёгкую пружину в сжатом на 1 см состоянии, внезапно оборвалась (см. рисунок). Какова масса шарика, если его скорость при отрыве от пружины равна 10 м/с? Жёсткость пружины 2 кН/м. Колебаниями пружины после отрыва шарика пренебречь.

Ответ: ____ г.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Так как по условию пружина легкая, то ее массой можно пренебречь и изменение потенциальной энергии силы тяжести пружины не учитывать. Шарик толкает пружина (сила упругости пружины), и они двигаются вместе до тех пор, пока сила упругости пружины направлена вверх, т.е. пока пружина в сжатом состоянии. После прохождения недеформированного состояния пружина (x = 0) начнет растягиваться, и сила упругости перестанет действовать на шарик. Шарик оторвется от пружины и продолжит движение только под действие силы тяжести (направленной вниз).
Сделаем схематический чертеж. За нулевую высоту примем высоту, на которой находился шарик вначале (см. рисунок).

Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{к0}}+E_{\text{п т0}}+E_{\text{п у0}},\]
где E_{п т0} = 0, т.к. шарик был на нулевой высоте (h₀ = 0), \( E_{\text{п у0}}=\frac{k \cdot x_0^2}{2}, \) E_к0 = 0, т.к. вначале шарик не двигался. Получаем
\[E_{\text{мех0}}=\frac{k \cdot x_0^2}{2}.\]
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (в момент отрыва шарика)
\[E_{\text{мех}}=E_{\text{к}}+E_{\text{п т}}+E_{\text{п у}},\]
где \( E_{\text{п т}}=m \cdot g \cdot h, \) h = x₀, E_{п у0} = 0, т.к. пружина выпрямилась, \( E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}. \) Получаем
\[E_{\text{мех}}=m \cdot g \cdot x_0+\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}=\frac{m}{2} \cdot \left( 2g \cdot x_0+\upsilon ^2 \right).\]
Непотенциальные (внешние) силы в задаче не учитываются, поэтому запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{мех}},\ \ \frac{k \cdot x_0^2}{2}=\frac{m}{2} \cdot \left( 2g \cdot x_0+\upsilon ^2 \right),\]
\[m=\frac{k \cdot x_0^2}{2g \cdot x_0+\upsilon ^2},\]

m = 1,996·10^–3 кг = 2 г.

Ответ: 2 г.