ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Задача 22.9

[Александр Сакович]

22.9 (25.9). Снаряд массой 4 кг, летящий со скоростью 100 м/с, разрывается на два осколка одинаковой массы, при этом первый осколок летит под углом 90° по отношению к направлению движения снаряда, а второй — со скоростью 250 м/с. Определите скорость первого осколка.
Ответ: ____ м/с.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Скорость снаряда изменяет взрыв. До взрыва двигался только снаряд. После взрыва осколки снаряда двигались отдельно друг от друга. Направление скорости второго осколка нам неизвестно.
Начальный и конечный импульсы системы тел (осколки снаряда) равны соответственно
\[\vec{p}_0=m \cdot \vec{\upsilon }_0,\ \ \vec{p}=m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1+m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2.\]
Так как при взрыве считаем, что силой тяжести осколков (по сравнению с силой взрыва) можно пренебречь, то в системе внешними силами можно пренебречь, и запишем закон сохранения импульса системы тел:
\[\vec{p}_0=\vec{p},\ \ m \cdot \vec{\upsilon }_0 =m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1+m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2,\ \ \ (1)\]
где m = m₁ + m₂ = 2m₁ = 2m₂, т.к. по условию m₁ = m₂ — осколка одинаковой массы.

1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость второго осколка (направление которой неизвестна) будет равна
\[\upsilon _2=\sqrt{\upsilon _{2x}^2+\upsilon _{2y}^2}.\ \ \ (2)\]
Направим ось 0Х вдоль начальной скорости снаряда, ось 0Y — вдоль конечной скорости первого осколка (см. рисунок 1). Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:
\[0X:\ m \cdot \upsilon _0=m_2 \cdot \upsilon _{2x},\ \ \upsilon _{2x}=\frac{m \cdot \upsilon _0}{m_2}=\frac{2m_2 \cdot \upsilon _0}{m_2}=2 \upsilon _0,\ \ \ (3)\]
\[0Y:\ 0=m_1 \cdot \upsilon _1+m_2 \cdot \upsilon _{2y},\ \ \upsilon _{2y}=-\frac{m_1 \cdot \upsilon _1}{m_2}=-\upsilon _1.\ \ \ (4)\]
После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:
\[\upsilon _2^2= \left( 2 \upsilon _0 \right)^2+ \left( -\upsilon _1 \right)^2,\ \ \upsilon _2^2= 4 \upsilon _0^2+ \upsilon _1^2,\ \ \upsilon _1=\sqrt{\upsilon _2^2-4 \upsilon _0^2},\]
υ₁ = 150 м/с.

2 способ (векторный). Из уравнения (1) получаем, что
\[m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2=m \cdot \vec{\upsilon }_0+\left( -m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1 \right).\]
Построим треугольник импульсов по данному уравнению (см. рисунок 2). Получили прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это импульс m₂·υ₂, а катеты — импульсы m₁·υ₁ и m·υ₀. Тогда по теореме Пифагора получаем
\[\left( -m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2=\left( m_2 \cdot \upsilon _2 \right)^2- \left( m \cdot \upsilon _0 \right)^2,\ \ \left( m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2=\left( m_1 \cdot \upsilon _2 \right)^2- \left( 2m_1 \cdot \upsilon _0 \right)^2,\]
\[\upsilon _1^2=\upsilon _2^2-4 \upsilon _0^2,\ \ \upsilon _1=\sqrt{\upsilon _2^2-4 \upsilon _0^2},\]
υ₁ = 150 м/с.
Масса снаряда 4 кг — лишнее данное.
Ответ: 150 м/с.