ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Задача 22.7

[Александр Сакович]

22.7 (25.7). При делении покоившегося ядра химического элемента образовалось три осколка массами 1,5m, m и 5m. Скорости первых двух взаимно перпендикулярны, а их модули равны соответственно 2υ и 4υ. Определите отношение модулей скоростей первого и третьего осколков.
Ответ: ____ .

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Скорость осколков ядра изменяет ядерная реакция деления. До деления ядро покоилось. После деления три осколка двигались ядра отдельно друг от друга.
Начальный и конечный импульсы системы тел (осколки ядра) равны соответственно
\[\vec{p}_0=0,\ \ \vec{p}=m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1+m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2+m_3 \cdot \vec{\upsilon }_3.\]
Так как при делении считаем, что силой тяжести осколков (по сравнению с силой отталкивания, возникающей при делении ядра) можно пренебречь, то в системе внешних сил нет, и запишем закон сохранения импульса системы тел:
\[\vec{p}_0=\vec{p},\ \ 0=m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1+m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2+m_3 \cdot \vec{\upsilon }_3.\ \ \ (1)\]
Так как осколки движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную горизонтальную систему координат, и тогда скорость третьего осколка (направление которой неизвестно) будет равна
\[\upsilon _3=\sqrt{\upsilon _{3x}^2+\upsilon _{3z}^2}.\ \ \ (2)\]
Направим ось 0Х вдоль скорости первого осколка, ось 0Z — вдоль скорости второго осколка, т.к. по условию угол между векторами скоростей υ₁ и υ₂ равен 90° (см. рисунок).
Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:
\[0X:\ 0=m_1 \cdot \upsilon _1+m_3 \cdot \upsilon _{3x},\ \ \upsilon _{3x}=-\frac{m_1 \cdot \upsilon _1}{m_3}=-\frac{1,5m \cdot 2 \upsilon }{5m}=-\frac{3 \upsilon }{5},\ \ \ (3)\]
т.к. m₁ = 1,5m, m₂ = m, m₃ = 5m, υ₁ = 2υ, υ₂ = 4υ,
\[0Z:\ 0=m_2 \cdot \upsilon _2+m_3 \cdot \upsilon _{3z},\ \ \upsilon _{3z}=-\frac{m_2 \cdot \upsilon _2}{m_3}=-\frac{m \cdot 4\upsilon }{5m}=-\frac{4\upsilon }{5}.\ \ \ (4)\]
После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:
\[\upsilon _3=\sqrt{\left( -\frac{3 \upsilon }{5} \right)^2+\left( -\frac{4 \upsilon }{5} \right)^2}=\sqrt{\frac{25 \upsilon ^2}{25}}=\upsilon .\]
Тогда
\[\frac{\upsilon _1}{\upsilon _3}=\frac{2 \upsilon }{\upsilon }=2.\]
Ответ: 2.