ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Законы сохранения 3.22

[Александр Сакович]

3.22 (4.22). По гладкой горизонтальной плоскости движутся вдоль осей X и Y две шайбы с импульсами, равными по модулю p₀₁ = 5 кг·м/с и p₀₂ = 3 кг·м/с (см. рисунок). После их соударения первая шайба продолжает двигаться по оси X в прежнем направлении. Модуль импульса второй шайбы после удара равен p₂ = 5 кг·м/с. Найдите модуль импульса первой шайбы после удара. 

Ответ: _____ кг·м/с.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Импульс шайб изменяет их столкновение. До удара шайбы двигались отдельно друг от друга. После удара шайбы так же двигались отдельно. Направление второй шайбы неизвестно. Дополним рисунок (см. рисунок).
Начальный и конечный импульсы системы тел (из двух шайб) равны соответственно
\[\vec{p}_0=\vec{p}_{01}+\vec{p}_{02},\ \ \vec{p}=\vec{p}_1+\vec{p}_2.\]
В системе векторная сумма внешних сил равна нулю (силы тяжести m·g скомпенсированы силами реакции опоры N), поэтому выполняется закон сохранения импульса системы тел:
\[\vec{p}_0=\vec{p},\ \ \vec{p}_{01}+\vec{p}_{02}=\vec{p}_1+\vec{p}_2.\ \ \ (1)\]
Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда импульс второй шайбы (направление которого неизвестно) будет равен
\[p_2=\sqrt{p_{2x}^2+p_{2y}^2}.\ \ \ (2)\]
Направление осей 0Х и 0Y показаны на рисунке условия. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:
\[0X:\ p_{01}=p_1+p_{2x},\ \ p_{2x}=p_{01}-p_1,\ \ \ (3)\]
\[0Y:\ p_{02}=p_{2y},\ \ p_{2y}=p_{02}.\ \ \ (4)\]
После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:
\[p_2^2={\left( p_{01}-p_1 \right)}^2+p_{02}^2,\ \ p_1=p_{01}-\sqrt{p_2^2-p_{02}^2},\]

p₁ = 1 кг·м/с.

Ответ: 1 кг·м/с.