ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Статика 4.11

[Александр Сакович]

4.11 (5.11). Коромысло весов, к которому подвешены на нитях два тела (см. рисунок), находится в равновесии. Во сколько раз нужно уменьшить плечо d₁, чтобы после увеличения массы первого тела в 3 раза равновесие сохранилось? (Коромысло и нити считать невесомыми.)

Ответ: в _____ раз(а).

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. На коромысло весов действуют силы тяжести грузов m₁·g и m₂·g  (рис.).

Силу натяжения подвеса T весов в точке О не учитываем, т.к. момент этой силы относительно точки О равен нулю.

Плечо силы тяжести m₁·g равно ОА = d₁. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О против часовой стрелки, поэтому M₁ > 0 и
\[M_1=m_1 \cdot g \cdot d_1.\]
Плечо силы тяжести груза m₂·g равно ОВ = d₂. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О по часовой стрелке, поэтому M₁ < 0 и
\[M_2=-m_2 \cdot g \cdot d_2.\]
Запишем условие равновесия тела, имеющего закрепленную ось вращения, с учетом знаков:
\[M_1+M_2=0,\ \ m_1 \cdot g \cdot d_1-m_2 \cdot g \cdot d_2=0.\;\;\;(1)\]
1 способ. Из уравнения (1) получим зависимость d₁ от m₁:
\[d_1=\frac{m_2 \cdot d_2}{m_1}.\]
Так как масса m₁ находится в знаменателе, то после ее увеличения в 3 раза, при сохранении равновесия плечо d₁ уменьшиться в 3 раза.

2 способ. Запишем уравнение (1) для двух значений массы m₁ и плеча d₁:
\[d_{11}=\frac{m_2 \cdot d_2}{m_{11}},\ \ d_{12}=\frac{m_2 \cdot d_2}{m_{12}},\]
где m₁₂ = 3m₁₁. Тогда
\[\frac{d_{11}}{d_{12}}=\frac{m_2 \cdot d_2}{m_{11}} \cdot \frac{m_{12}}{m_2 \cdot d_2}=\frac{m_{12}}{m_{11}}=3.\]
Плечо d₁ уменьшить в 3 раза.
Ответ: в 3 раз(а).