ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Кинематика. Контроль 2.6

[Александр Сакович]

6. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, достиг максимальной высоты 5 м и упал обратно на землю в 20 м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?
Ответ: _____ м/с.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Скорость камня в любой момент времени равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+\upsilon _y^2}.\]
Проекция скорости υ_х = const (по оси 0Х нет ускорения), υ_y непрерывно меняется. Поэтому скорость υ будет минимальной, при минимальном значении υ_y, т.е.
\[\upsilon _y=0,\ \ \upsilon _{\min }=\upsilon _x=\upsilon _{0x}.\]
Камень движется по параболе. Проекция скорости υ_y = 0 на максимальной высоте. Найдем значение скорости υ₁ = υ_min в этой точке.
За тело отсчета выберем точку бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх (см. рисунок).
При свободном падении тел можно использовать следующие уравнения:
\[x=x_0+\upsilon _{0x} \cdot t,\ \ y=y_0+\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{g_y \cdot t^2}{2},\]
\[\upsilon _y=\upsilon _{0y}+g_y \cdot t,\]
где x₀ = 0 м, y₀ = 0 м, g_y = –g. Тогда
\[x=\upsilon _{0x} \cdot t,\]
\[y=\upsilon _{0y} \cdot t-\frac{g \cdot t^2}{2}.\]
\[\upsilon _y=\upsilon _{0y}-g \cdot t.\]
Пусть при t = t₁ тело окажется на максимальной высоте (у₁ = h_max = 5 м, x₁ = l/2 = 10 м, υ_1y = 0). Уравнения примут вид
\[x_1=\upsilon _{0x} \cdot t_1,\;\;\;(1)\]
\[h_{\max }=\upsilon _{0y} \cdot t_1- \frac{g \cdot t_1^2}{2},\;\;\;(2)\]
\[0=\upsilon _{0y}-g \cdot t_1.\;\;\;(3)\]
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[\upsilon _{0y}=g \cdot t_1,\ \ h_{\max }=g \cdot t_1 \cdot t_1- \frac{g \cdot t_1^2}{2}= \frac{g \cdot t_1^2}{2},\ \ t_1=\sqrt{\frac{2h_{\max }}{g}},\]
\[\upsilon _{\min }=\upsilon _{0x}= \frac{x_1}{t_1}= x_1 \cdot \sqrt{\frac{g}{2h_{\max }}},\]
υ_min = 10 м/с.
Ответ: 10 м/с.