ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Задача Оптика. 23.16

[Александр Сакович]

23.16 (29.16). На дне бассейна с водой находится небольшая лампочка. На поверхности воды плавает круглый плот — так, что центр плота находится точно над лампочкой. Определите глубину бассейна H, если минимальный радиус плота, при котором свет от лампочки не выходит из воды, R = 2,4 м. Сделайте рисунок, поясняющий решение. Толщиной плота пренебречь. Показатель преломления воды n = 4/3.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Лучи от источника идут из более плотной среды в менее (из воды в воздух), поэтому лучи, угол падения которых α ≥ α₀ (α₀ — предельный угол полного отражения), не будут выходить из воды (рис. а). Следовательно, лучи не будут выходить, если на участке AB поставить плот радиуса R (рис. б), где
\[ R \ge H \cdot \text{tg} \alpha _0 \]
или
\[ R_\min = H \cdot \text{tg} \alpha _0. \]
Тогда
\[ H =\frac{R_\min}{tg \alpha _0}.\;\;\;(1) \]
Предельный угол полного отражения α₀ найдем из соотношения
\[ \sin \alpha _0 =\frac{n_2}{n_1},\;\;\;(2) \]
где n₁ = 4/3 — показатель преломления воды, n₂ = 1,0 — показатель преломления воздуха.
1 способ (по действиям). Из уравнения (2) найдем предельный угол полного отражения
\[ \alpha _0 =\arcsin \frac{n_2}{n_1} \],
α₀ = 48,59°.
Подставим полученное значение в уравнение (1)
H = 2,1 м.
2 способ (в общем виде). С учетом уравнения (2) найдем тангенс угла преломления γ
\[ \text{tg} \alpha _0 =\frac{\sin \alpha _0}{\sqrt{1-\sin ^2 \alpha _0}}=\frac{\frac{n_2}{n_1}}{\sqrt{1-\frac{n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}}}=\frac{n_2}{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}. \]
Подставим полученное выражение в уравнение (1)
\[ H= \frac{R_\min \cdot \sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_2}, \]
H = 2,1 м.
Ответ: 2,1 м.