ЕГЭ 2021. Педагогические измерения-2021-4. Пример 23

[Александр Сакович]

Пример 23. Монохроматическое рентгеновское излучение с длиной волны λ = 1,1·10^-10 м падает по нормали на пластинку и создаёт давление p = 1,26·10^-6 Па. При этом 70% фотонов отражаются, а остальные проходят сквозь пластинку. Определите концентрацию фотонов в пучке падающего излучения. Рассеянием и поглощением излучения пренебречь. Считать, что фотоны в пучке распределены равномерно.
Ответ:

При взаимодействии излучения с пластинкой фотоны, проходящие через неё, не оказывают давления на пластинку. Отражённые фотоны передают пластинке импульс, равный по модулю суммарному изменению импульсов всех отражённых фотонов. Лишь 2% от общего числа приступивших к решению этой задачи смогли верно записать все исходные уравнения и определить число фотонов, падающих на пластинку за некоторое время. Очевидно, тема «Давление света» в профильных классах изучается недостаточно качественно. Следует более детально останавливаться на случаях взаимодействия фотонов с поверхностью в случаях полного поглощения, отражения и прохождения фотонов через среду и, соответственно, возникающем давлении в каждом из этих случаев.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по физике //Педагогические измерения. - 2021. - № 4. - С. 132-150.

[Александр Сакович]

Решение. Пусть за время t₁ на поверхность падает N₁ фотон, а N₂ фотонов отражается. По условию отражается η = 70% = 0,7 фотонов, поэтому
\[ N_2=\eta \cdot N_1.\;\;\;(1) \]
Концентрацию фотонов в пучке падающего излучения можно найти следующим образом:
\[ n=\frac{N_1}{V}. \]
За время t₁ фотоны будут занимать объем V, равный
\[ V=S \cdot l =S \cdot c \cdot t_1, \]
где S — площадь пластины, l — расстояние, которое пролетают фотоны за время t₁ (скорость фотонов равна c = 3·10⁸ м/с). Тогда
\[ n= \frac{N_1}{S \cdot c \cdot t_1}.\;\;\; (2) \]
При ударе о поверхность пластинки фотоны давят на нее с силой F₁. Эту силу можно найти через давление p_давл = 1,26·10^-6 Па и площадь пластинки S
\[ F_1 = p_{\text{давл}} \cdot S.\;\;\;(3) \]
По третьему закону Ньютона, с какой силой F₁ фотоны источника давят на пластинку, с такой же по величине, но противоположной по направлению, силой F₂ пластинка действует на фотоны, т.е. F₂ = F₁. Сила F₂ и вызывает изменение импульса отраженных фотонов при ударе.
При падении фотонов на пластинку оказывать давление будут только фотоны, которые отражаются или поглощаются. Фотоны, проходящие через пластинку, не оказывают на нее давления. Поэтому запишем закон изменения импульса только отраженных фотонов N₂ за время t₁ (рис. ) (поглощенных фотонов по условию нет) и учтем, что значение импульса фотона при отражении не меняется, т.е. p = p₀:
\[ \vec{F}_2 \cdot t_1 = N_2 \cdot \vec{p}-N_2 \cdot \vec{p}_0, \]
\[ 0Y:\ F_{2y} \cdot t_1=N_2 \cdot p-\left( -N_2 \cdot p_0 \right)= N_2 \cdot p+ N_2 \cdot p_0 =2N_2 \cdot p. \]
С учетом уравнений (1), (3) и F₂ = F₁ получаем
\[ p_{\text{давл}} \cdot S \cdot t_1= 2\eta \cdot N_1 \cdot p. \]
Так как импульс фотона и длина волны связаны соотношением
\[ p=\frac{h}{\lambda }, \]
то
\[ p_{\text{давл}} \cdot S \cdot t_1 =2\eta \cdot N_1 \cdot \frac{h}{\lambda },\ \ N_1 =\frac{p_{\text{давл}} \cdot S \cdot t_1 \cdot \lambda }{2\eta \cdot h}. \]
Подставим полученное выражение в уравнение (2)
\[ n=\frac{1}{S \cdot c \cdot t_1} \cdot N_1 = \frac{1}{S \cdot c \cdot t_1} \cdot \frac{p_{\text{давл}} \cdot S \cdot t_1 \cdot \lambda }{2\eta \cdot h}=\frac{p_{\text{давл}} \cdot \lambda }{2c \cdot \eta \cdot h}, \]
n = 5·10⁸ м^–3.