ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 4

[Александр Сакович]

Пример 4. Восемь одинаковых резисторов с сопротивлением r = 1 Ом соединены в электрическую цепь, по которой течет ток I = 8 А (см. рисунок). Какое напряжение показывает вольтметр? Вольтметр считать идеальным.
Ответ: ____ В.

Средний процент выполнения задания — 21, для групп заданий по электродинамике отмечен самый низкий средний процент выполнения задания — 59%. Наибольшие затруднения оказались связаны с расчетом общего сопротивления участка со смешанным сопротивлением проводников и применением закона Ома для участка цепи со смешанным сопротивлением проводников.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Решение Демидовой М.Ю. В задании не требуется никаких сложных расчетов цепи, нужны лишь знание закона Ома для участка цепи, формул для расчета сопротивлений последовательного и параллельного соединений и устные рассуждения. Поскольку общее сопротивление участка с параллельным соединением резисторов на нижней ветви равно r, то ток, равный 8 А, поровну распределится между верхней и нижней ветвями, а затем в нижней ветви еще раз поровну распределится между следующим блоком параллельно соединенных резисторов. Соответственно, напряжение на вольтметре

U = 4 А ·1 Ом + 2 А · 1 Ом = 6 В.

[Александр Сакович]

Замечания. Откуда взяли последнюю формулу для расчета напряжения?
В кодификаторе есть подобная формула для последовательного соединения резисторов, но резисторы, к которым подключен вольтметр, нельзя считать последовательно соединенными.
Следовательно, формулу необходимо выводить. Например, через метод потенциалов. Обозначим точки подключения вольтметра буквами С и В, а резисторы номерами от R₁ до R₈ (см. рисунок).
Так как ток течет вправо, то справа потенциал точек меньше, чем слева. Тогда напряжение на вольтметре будет равно
\[U_V=\varphi _C-\varphi _B,\ \ \ (1)\]
где потенциалы в точках C и B найдем через напряжения на резисторах R₄ и R₇:
\[U_4=\varphi _C-\varphi _D,\ \ \varphi _C=U_4+\varphi _D,\]
\[U_7=\varphi _D-\varphi _B,\ \ \varphi _B=\varphi _D-U_7.\]
После подстановки данных выражений в уравнение (1) получаем
\[U_V=\left( U_4+\varphi _D \right)-(\varphi _D- U_7)=U_4+U_7,\]
где
\[U_4=I_4 \cdot R_4,\ \ U_7=I_7 \cdot R_7,\ \ I_4=4\ \text{A},\ \ I_7= 2\ \text{A}.\]
Ответ: 6 В.

Примечание. То, что напряжение на вольтметре оказалось равным сумме напряжений на резисторах является частным случаем и выполняется, если токи в резисторах направлены в одну сторону. Например, если подключить вольтметр к точкам A и D, то напряжение на вольтметре будет равно разности напряжений на резисторах R₂ и R₄ (и в данной задаче равно 0 В).