ЕГЭ 2021. Педагогические измерения-2021-4. Пример 21

[Александр Сакович]

Пример 21. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между шариками находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, расталкивает шарики и падает вниз. В результате нити отклоняются в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс m₂/m₁ = 1,5? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.
Ответ: ____.

Здесь 5% экзаменуемых справились с решением задачи, либо получив полностью верный ответ, либо допустив незначительные огрехи в математической части задачи. Как правило, все приступившие к решению задачи верно записывали закон сохранения импульса после пережигания нити и распрямления пружины. А вот на следующем этапе вместо использования закона сохранения энергии участники экзамена пытались применить методы динамики, зачастую заменяя колебательное движение равномерным движением по окружности. Очевидно, целесообразно при изучении механических колебаний более подробно рассматривать изменения кинематических характеристик тела по мере его движения.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по физике //Педагогические измерения. - 2021. - № 4. - С. 132-150.

[Александр Сакович]

В решении задачи можно выделить несколько процессов: 1) расталкивание пружиной шариков; 2-3) движение двух шариков на нити.
Процесс 1. Расталкивание пружиной шариков.
Для нахождения скоростей шариков после пережигания нити на пружине воспользуемся законом сохранения импульса (рис. 1):
\[ 0=m_1 \cdot \vec{\upsilon }_{01}+ m_2 \cdot \vec{\upsilon }_{02},\ \ 0X:\ \ 0=-m_1 \cdot {\upsilon }_{01} + m_2 \cdot {\upsilon }_{02}, \]
\[ m_1 \cdot {\upsilon }_{01} = m_2 \cdot {\upsilon }_{02},\ \ \frac{\upsilon _{01}}{\upsilon _{02}} = \frac{m_2}{m_1}.\ \ \ (1) \]

Процесс 2. Движение шарика m₁ на нити длиной L₁.
За нулевую высоту примем высоту, на которой находится шарик в нижнем положении (рис. 2).
Полная механическая энергия шарика в начальном состоянии
\[ E_{\text{мех}0}=E_{k0}=\frac{m_1 \cdot \upsilon _{01}^2}{2}. \]
Полная механическая энергия системы шарика в конечном состоянии (при максимальном отклонении на угол α)
\[ E_{\text{мех}}= E_p = m_1 \cdot g \cdot h_1, \]
где \( h_1 =BC=AC-AB=L_1-L_1 \cdot \cos \alpha = L_1 \cdot \left( 1-\cos \alpha  \right). \)
Так как в задаче нет непотенциальных сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[ E_{\text{мех}0}= E_{\text{мех}},\ \ \frac{m_1 \cdot \upsilon _{01}^2}{2} = m_1 \cdot g \cdot h_1,\ \ \upsilon _{01}^{2}= 2g \cdot h_1 = 2g \cdot L_1 \cdot \left( 1-\cos \alpha  \right), \]
\[ L_1 =\frac{\upsilon _{01}^2}{2g \cdot \left( 1-\cos \alpha  \right)}.\ \ \ (2) \]

Процесс 3. Движение шарика m₂ на нити длиной L₂.
Решение аналогично решению в процессе 2. В итоге получаем
\[ L_2 = \frac{\upsilon _{02}^2}{2g \cdot \left( 1-\cos \alpha  \right)}.\ \ \ (3) \]

Решим систему уравнений (1)-(3) и учтем, что по условию m₂/m₁ = 1,5. Например,
\[ \frac{L_1}{L_2}= \frac{\upsilon _{01}^2}{2g \cdot \left( 1-\cos \alpha  \right)} \cdot \frac{2g \cdot \left( 1-\cos \alpha  \right)}{\upsilon _{02}^2} ={{\left( \frac{\upsilon _{01}}{\upsilon _{02}} \right)}}^2 = {{\left( \frac{m_2}{m_1} \right)}}^2,\ \ \frac{L_1}{L_2}=1,5^2=2,25. \]
Ответ: 2,25.