ЕГЭ 2021. Педагогические измерения-2021-4. Пример 22

[Александр Сакович]

Пример 22. В закрытом сосуде при температуре 100°С находится влажный воздух с относительной влажностью 60% под давлением 100 кПа. Объём сосуда изотермически уменьшили в 2,5 раза. Во сколько раз надо вместо этого увеличить абсолютную температуру без изменения объёма сосуда, чтобы получить такое же конечное давление? Объёмом сконденсировавшейся воды пренебречь.

В этой задаче первоначально необходимо было разобраться со степенью изотермического сжатия, при которой пар станет насыщенным, и учесть при этом, что при 100 °С давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению. А затем определить начальное и конечное парциальные давления сухого воздуха, воспользовавшись законами Дальтона и Бойля-Мариотта. Во втором случае при нагревании влажного воздуха без изменения объёма водяной пар будет оставаться ненасыщенным, а значит, влажный воздух можно считать идеальным газом с постоянным количеством вещества, и для изохорного нагревания можно применить закон Шарля.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по физике //Педагогические измерения. - 2021. - № 4. - С. 132-150.

[Александр Сакович]

Решение. По закону Дальтона давление влажного воздуха p₀ = 100 кПа = 1·10⁵ Па равно сумме парциальных давлений сухого воздуха р_в0 и водяного пара p_п0 в нем
\[ p_0=p_{\text{в}0}+p_{\text{п}0}. \]
Парциальное давление водяного пара p_п0 найдем через влажность
\[ \varphi _0=\frac{p_{\text{п}0}}{p_{\text{нп}0}} \cdot 100%,\ \ p_{\text{п}0}= \frac{\varphi _0 \cdot p_{\text{нп}0}}{100%}. \]
где φ₀ = 60%, давление насыщенного пара при 100 ºС равно p_нп0 = 1·10⁵ Па (это следует из того, что вода кипит при 100 ºС при давлении окружающей среды 100 кПа, а при кипении давление насыщенного пара равно давлению окружающей среды). Тогда давление влажного воздуха
\[ p_0=p_{\text{в}0} + \frac{\varphi _0 \cdot p_{\text{нп}0}}{100%}.\;\;\;(1) \]

По условию над воздухом совершают два процесса: или 1) изотермическое сжатие в 2,5 раза до давления воздуха p₁; или 2) изохорное нагревание до давления воздуха p₂ = p₁. Рассмотрим каждый процесс.
Процесс 1. Изотермическое сжатие в 2,5 раза.
При изотермическом сжатии давление влажного воздуха стало
\[ p_1=p_{\text{в}1} + p_{\text{п}1}. \]
При сжатии ненасыщенный пар может стать насыщенным. Поэтому распишем уравнения процессов отдельно для сухого воздуха и водяного пара.
Для сухого воздуха запишем уравнение изотермического процесса и учтем, что V₀ = 2,5V₁ (объём сосуда уменьшили в 2,5 раза)
\[ p_{\text{п}1} \cdot V_1 = p_{\text{в}0} \cdot V_0,\ \ p_{\text{в}1} = \frac{p_{\text{в}0} \cdot V_0}{V_1} = 2,5 \cdot p_{\text{в}0}. \]
Аналогично, если пар изотермически сжать в 2,5 раза, то его давление должно увеличиться в 2,5 раза и давление пара становится больше давления насыщенного пара при данной температуре \( \left( p_{\text{п}} = 2,5p_{\text{п}0}= 2,5 \cdot \frac{60% \cdot p_{\text{нп}0}}{100%} = 1,5p_{\text{нп}0}>p_{\text{0}} \right). \) Но это невозможно, следовательно, при сжатии пар становится насыщенным и его давление больше не изменяется, т.е.

p_п1 = p_нп0 = 1·10⁵ Па.

Тогда давление влажного воздуха
\[ p_1 = 2,5p_{\text{в}0} + p_{\text{нп}0}.\;\;\;(2) \]

Процесс 2. Изохорное нагревание до давления влажного воздуха p₂ = p₁.
При нагревании при постоянном объеме пар не может стать насыщенным. Поэтому и для него можно применять законы изопроцессов. Запишем уравнение изохорного нагревания для всего влажного воздуха и найдем из него увеличение температуры
\[ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p_2}{T_2},\ \ \frac{T_2}{T_0} =\frac{p_2}{p_0} = \frac{p_1}{p_0}.\;\;\;(3) \]
Решим систему уравнения (1)-(3) и учтем, что по условию p₀ = p_нп0. Например,
\[ p_{\text{в}0} = p_0- \frac{\varphi _0 \cdot p_{\text{нп}0}}{100%} = p_0-\frac{60% \cdot p_0}{100%} = 0,4p_0, \]
\[ p_1=2,5 \cdot 0,4p_0 +p_0 = 2p_0,\ \ \frac{T_2}{T_0} = \frac{p_1}{p_0} = \frac{2p_0}{p_0}=2. \]
Ответ: в 2 раза.
Примечание. В задачах не совсем корректно применять термины изопроцессов. При изопроцессах масса газа не должна меняться, но при сжатии пар становится насыщенным и конденсирует, т.е. его масса уменьшается. Поэтому лучше вместо «изотермического сжатия» применить «сжатие при той же температуре».