ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Постоянный ток 25.15

[Александр Сакович]

25.15 (28.15). Источник постоянного тока с ЭДС E = 10 В и внутренним сопротивлением r = 0,4 Ом подсоединен к параллельно соединенным резисторам R₁ = 4 Ом, R₂ = 6 Ом и конденсатору. Определите емкость конденсатора C, если энергия электрического поля конденсатора равна 60 мкДж.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Энергия конденсатора W, электроемкость C и напряжение U_C связаны соотношением
\[W=\frac{C \cdot U_C^2}{2}.\]
Резисторы R₁ и R₂, и конденсатор C соединены параллельно, поэтому их общие сопротивления R_1/2 и напряжения U_1/2 равны
\[R_{1/2}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2},\ \ R_{1/2}=2,4\ \text{Ом}\text{,}\]
\[U_{1/2}=U_C.\]
Из закона Ома для участка с резисторами получаем
\[I=\frac{U}{R},\ \ U_{1/2}=I_{1/2} \cdot R_{1/2}.\]
Ток через конденсатор не идет, поэтому цепь можно упростить (см. рисунок),

а общую силу тока I в цепи найти через закон Ома для полной цепи
\[I=I_{1/2}=\frac{E}{r+R_{1/2}}.\]
Тогда
\[W=\frac{C}{2} \cdot {{\left( I_{1/2} \cdot R_{1/2} \right)}^2}=\frac{C}{2} \cdot {{\left( \frac{E \cdot R_{1/2}}{r+R_{1/2}} \right)}^2},\]
\[C=2W \cdot {{\left( \frac{r+R_{1/2}}{E \cdot R_{1/2}} \right)}^2},\ \ C \approx 1,63\ \text{мкФ}.\]
Ответ: 1,63 мкФ.

[Александр Сакович]

Авторское решение задачи