ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Колебания. Задача 6.7

[Александр Сакович]

6.7 (8.9). Груз, привязанный к нити, в момент t = 0 вышел с начальной скоростью υ₀ из состояния равновесия (см. рисунок). 

На графиках А и Б показано изменение физических величин, характеризующих движение груза после этого. T — период колебаний.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. Потенциальную энергию принять равной нулю в положении равновесия груза.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Ответ: ____

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) По условию груз в начальный момент t = 0 вышел с начальной скоростью υ₀ из точки с координатой x = 0 (точка равновесия).
2) Так как груз движется слева от точки x = 0 против оси 0x, то его координата в начале движения x < 0, а проекция скорости υ_x < 0.
3) По условию потенциальную E_п энергию принять равной нулю в положении равновесия груза.

Теория. Так как горизонтальные оси графиков в таблице условия — это оси времени 0t, то определим, как зависят от времени t движения все физические величины из таблицы условия.
1) Груз на нити большой длины при малых колебаниях может считать математическим маятником, который совершает гармонические колебания.
2) Так как груз в момент t = 0 с вышел из точки с координатой x = 0, то изменение координаты x происходит по закону синуса. Так как в начале движения x < 0, то уравнение координаты имеет вид
\[x\left( t \right)=-A \cdot \sin \omega \cdot t.\ \ \ (1)\]
Тогда уравнение проекции скорости груза υ_x будет иметь вид
\[\upsilon _x={x}'_t={{\left( -A \cdot \sin \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=-A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t.\ \ \ (2)\]
Знак проекции скорости υ_x < 0 соответствует анализу условия (см. пункт 2).
3) Кинетическая энергия E_к груза равна
\[E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}.\]
Так как колебания математического маятника будут гармоническими только при малых углах отклонения α ≈ 0 (cos α ≈ 1), то
\[\upsilon =\frac{\upsilon _x}{\cos \alpha }\approx \upsilon _x.\]
Тогда с учетом уравнения (2) получаем
\[E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon _x^2}{2}=\frac{m}{2} \cdot A^2 \cdot {\omega }^2 \cdot {\cos }^2\omega \cdot t.\ \ \ (3)\]
4) Потенциальная энергия E_п груза равна
\[E_{\text{п}}=m \cdot g \cdot h.\]
Уравнение гармонического колебания для потенциальной энергии груза получим, используя закон сохранения механической энергии, уравнение (3) и
\[\upsilon _{\max }=A \cdot \omega ,\ \ {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha .\]
Тогда
\[E_{\text{мех}}=E_{\text{п}}+E_{\text{к}},\]
\[E_{\text{п}}=E_{\text{мех}}-E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon _{\max }^2}{2}-\frac{m}{2} \cdot A^2 \cdot {\omega }^2 \cdot {\cos }^2\omega \cdot t=\]
\[=\frac{m \cdot A^2 \cdot {\omega }^2}{2} \cdot \left( 1-{\cos }^2\omega \cdot t \right)=\frac{m \cdot A^2 \cdot {\omega }^2}{2} \cdot {\sin }^2\omega \cdot t.\ \ \ (4)\]
5) Период колебания груза и его частота равны T и ν соответственно. Так как энергии груза изменяются по законам cos² ω·t или sin² ω·t (см. уравнения (3) и (4)), то период T_энерг и частота ν_энерг изменения энергии груза будут равны
\[T_{\text{энерг}}=\frac{T}{2},\ \ \nu _{\text{энерг}}=2\nu .\ \ \ (5)\]

Решение. 1 способ. Определим для каждой физической величины из второго столбца таблицы условия соответствующий ей график из первого столбца таблицы.
1) Координата x груза.
Уравнение гармонического колебания координаты x — это уравнение (1). Его график — синусоида, которая в первой четверти колебаний принимает отрицательные значения.
Это соответствует графику Б.

2) Проекция скорости υ_x груза.
Уравнение гармонического колебания проекции скорости υ_x — это уравнение (2). Его график — косинусоида, которая в начале движения принимает отрицательные значения.
Такого графика нет в таблице.

3) Кинетическая энергия E_к груза.
Уравнение гармонического колебания кинетической энергии E_к — это уравнение (3). Его график — косинусоида с удвоенной частотой (см. уравнение (5)), все значения которой только положительные.
Такого графика нет в таблице.

4) Потенциальная энергия E_п груза.
Уравнение гармонического колебания потенциальной энергии E_п — это уравнение (4). Его график — синусоида с удвоенной частотой (см. уравнение (5)), все значения которой только положительные.
Это соответствует графику А.

2 способ. Определим для каждого графика из первого столбца таблицы условия соответствующую ему физическую величину из второго столбца таблицы.
График А. Это синусоида, все значения которой только положительные, а период колебаний которых равен T/2, т.е. колебания происходят по закону sin² ω·t. Такой график соответствует уравнению (4) — уравнению колебаний потенциальной энергии E_п.
График соответствует величине 4.

График Б. Это синусоида, которая в первой четверти колебаний принимает отрицательные значения, период которых равен T. Такой график соответствует уравнению (1) — уравнению колебаний координаты x.
График соответствует величине 1.
Ответ: А4 Б1 или 41.