ЕГЭ 2021. Педагогические измерения-2021-4. Пример 1

[Александр Сакович]

Пример 1. Два маленьких шарика массой m каждый находятся на расстоянии 40 см друг от друга. Каково расстояние между шариками вдвое большей массы, если модуль сил гравитационного взаимодействия между ними такой же, как и между первыми двумя шариками?
Ответ: ____ см.

Средний процент выполнения — 46.
Традиционно вызывают сложности задания на квадратичные зависимости, связанные с законом всемирного тяготения.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по физике //Педагогические измерения. - 2021. - № 4. - С. 132-150.

[Александр Сакович]

Решение. Сила всемирного тяготения двух тел равна
\[ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}.\;\;\;(1) \]
Запишем уравнение (1) для шариков массы m и шариков массы 2m (вдвое большей массы)
\[ F_1 = G \cdot \frac{m \cdot m}{r_1^2} = G \cdot \frac{m^2}{r_1^2},\ \ F_2 = G \cdot \frac{2m \cdot 2m}{r_2^2} = G \cdot \frac{4m^2}{r_2^2}. \]
По условию F₁ = F₁ (модуль сил гравитационного взаимодействия между ними такой же). Тогда
\[ G \cdot \frac{m^2}{r_1^2} = G \cdot \frac{4m^2}{r_2^2},\ \ \frac{1}{r_1^2} = \frac{4}{r_2^2},\ \ r_2 = \sqrt{4r_1^2} = 2r_1, \]
r₂ = 80 см.
Ответ: 80 см.