Демоверсия 2022. Задача 4.

[Александр Сакович]

4. По гладкой горизонтальной плоскости движутся вдоль осей x и y две шайбы с импульсами, равными по модулю p₁₀ = 2 кг·м/c и p₂₀ = 3,5 кг·м/с (рис. 1). После их соударения вторая шайба продолжает двигаться по оси y в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы сразу после удара равен p₁ = 2,5 кг·м/с. Найдите модуль импульса второй шайбы сразу после удара.
Ответ: ______ кг·м/с.

[Александр Сакович]

Решение. Импульс шайб изменяет их столкновение. До удара шайбы двигались отдельно друг от друга. После удара шайбы так же двигались отдельно.
При ударе выполняется закон сохранения импульса
\[ {\vec{p}_{10}}+{\vec{p}_{20}}={\vec{p}_1}+{\vec{p}_2}.\;\;\;(1) \]
Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направление осей 0Х и 0Y показаны на рисунке условия. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси (рис. 2):
\[ 0X:\ p_{10}=p_{1x},\ \ p_{1x}=p_{10},\;\;\;(2) \]
\[ 0Y:\ p_{20}=p_2+p_{1y},\ \ p_{1y}=p_{20}-p_2.\;\;\;(3) \]
Направление импульса первой шайбы после столкновения нам неизвестно, но в уравнениях (2) и (3) мы нашли его проекции. Тогда
\[ p_1=\sqrt{p_{1x}^{2}+p_{1y}^{2}}.\;\;\;(4) \]
Подставим уравнения (2) и (3) в (4):
\[ p_1=\sqrt{p_{10}^{2}+{{\left( p_{20}-p_{2} \right)}^{2}}}. \]
Получили уравнение с одной неизвестной величиной p₂. Найдем ее.
\[ p_{1}^{2}=p_{10}^{2}+{{\left( p_{20}-p_{2} \right)}^{2}},\ \ {{\left( p_{20}-p_{2} \right)}^{2}}=p_{1}^{2}-p_{10}^{2}, \]
\[ p_{20}-p_{2}=\sqrt{p_{1}^{2}-p_{10}^{2}},\ \ p_2=p_{20}-\sqrt{p_{1}^{2}-p_{10}^{2}}, \]
p₂ = 2 кг·м/с.
Ответ: 2.

[Александр Сакович]