ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 29

[Александр Сакович]

Пример 29. Небольшое тело массой M = 0,99 кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом R = 1 м. В тело попадает пуля массой m = 0,01 кг, летящая горизонтально со скоростью υ₀ = 200 м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите высоту h, на которой это тело оторвётся от поверхности полусферы. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Самым сложным для участников экзамена оказалось обоснование использования законов сохранения в механике. В задаче из примера для закона сохранения импульса необходимо было записать, что он выполняется в проекциях на горизонтальную ось, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) вертикальны. Для закона сохранения энергии он выполняется, поскольку полусфера гладкая и работа силы реакции опоры равна нулю (эта сила перпендикулярна скорости тела). С таким обоснованием справилось 3,8% участников экзамена, в среднем для этих задач по критерию 1 получили максимальный балл всего 5,5% экзаменуемых.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Рекомендации Демидовой М.Ю.
В этой задаче выделяется три процесса: неупругое взаимодействие пули и тела, движение тела по полусфере без трения и отрыв тела от сферы. Соответственно, в обосновании должны быть описаны условия применимости законов для всех трех этапов:
- инерциальная система отсчета;
- модель материальной точки;
- условие применимости закона сохранения импульса (в данном случае его выполнение в проекции на горизонтальную ось;
- условие применимости закона сохранения энергии при движении тела по
полусфере;
- условие отрыва тела от поверхности полусферы.
Рисунок с указанием сил в задаче не требуется, но он помогает здесь и для обоснования, и для решения.

Обоснование. 1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Тела можно считать материальными точками, так как их размеры пренебрежимо малы в условиях задачи.
2. При соударении для системы «пуля — тело» в ИСО выполняется закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) вертикальны.
3. При движении составного тела от вершины полусферы выполняется закон сохранения механической энергии, так как полусфера гладкая, и работа силы реакции опоры равна нулю (эта сила перпендикулярна скорости тела).
4. В момент отрыва обращается в нуль сила реакции опоры N.
5. Второй закон Ньютона выполняется в ИСО для модели материальной точки.

[Александр Сакович]

Решение. Рассмотрим первый процесс — столкновение тела и пули. Тогда из проекции закона сохранения импульса на горизонтальную ось получаем
\[m \cdot \upsilon _0=\left( M+m \right) \cdot \upsilon _1,\ \ \ (1)\]
где υ₁ — скорость тела с пулей после столкновения.

2 процесс — скольжения тела с пулей по окружности. На тело действуют сила тяжести M·g и сила реакции опоры N. В момент отрыва (на высоте h) тело перестает давить на поверхность полусферы, т.е. N = 0 (см. рисунок). Но в данный момент времени тело еще некоторое малое время продолжает двигаться по окружности радиусом R = 1 м.
Запишем второй закон Ньютона для тела с пулей на высоте h:
\[\left( M+m \right) \cdot \vec{a}=\left( M+m \right) \cdot \vec{g},\]
\[0x:\ \ \left( M+m \right) \cdot a_c=\left( M+m \right) \cdot g \cdot \cos \alpha ,\ \ a_c=g \cdot \cos \alpha ,\]
где \( a_c=\frac{\upsilon _2^2}{R},\ \ \cos \alpha =\frac{h}{R}, \) υ₂ — скорость тела на высоте h. Тогда
\[\frac{\upsilon _2^2}{R}=g \cdot \frac{h}{R},\ \ \upsilon _2^2=g \cdot h.\ \ \ (2)\]
Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту основания полусферы (см. рисунок).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
\[E_{\text{мех}0}=\left( M+m \right) \cdot g \cdot h_0+\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _1^2}{2},\]
где h₀ = R.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (на высоте h)
\[E_{\text{мех}}=\left( M+m \right) \cdot g \cdot h+\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _2^2}{2}.\]
Так как нет внешних (непотенциальных) сил, то запишем закон сохранения механической энергии
\[E_{\text{мех}0}=E_{\text{мех}},\ \ \left( M+m \right) \cdot g \cdot R+\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _1^2}{2}=\left( M+m \right) \cdot g \cdot h+\frac{\left( M+m \right) \cdot \upsilon _2^2}{2},\]
\[g \cdot R+\frac{\upsilon _1^2}{2}=g \cdot h+\frac{\upsilon _2^2}{2},\ \ 2g \cdot R+\upsilon _1^2=2g \cdot h+\upsilon _2^2.\ \ \ (3)\]
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[\upsilon _1=\frac{m \cdot \upsilon _0}{M+m},\ \ 2g \cdot R+\upsilon _1^2=2g \cdot h+g \cdot h=3g \cdot h,\]
\[h=\frac{2g \cdot R+\upsilon _1^2}{3g}=\frac{2R}{3}+\frac{\upsilon _1^2}{3g}=\frac{2R}{3}+\frac{ \left( m \cdot \upsilon _0 \right)^2}{3g \cdot \left( M+m \right)^2},\]

h = 0,8 м.