ЕГЭ 2023. Анализ ошибок. Пример 10

[Александр Сакович]

Пример 10. С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс 1-2-3-4-1, pV-диаграмма которого представлена на рисунке. Максимальная температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет 400 К. Масса газа постоянна. На основании анализа этого циклического процесса выберите все верные утверждения.

1) Минимальная температура в циклическом процессе равна 200 К.
2) Количество теплоты, переданное газу при изохорном нагревании, равно 900 Дж.
3) В процессе 2-3 газ получает положительное количество теплоты.
4) Работа, совершённая над газом при его изобарном сжатии, равна 100 Дж.
5) Работа газа за цикл равна 200 Дж.
Ответ: ____.

В этом году наиболее высокие результаты продемонстрированы для заданий по молекулярной физике, средний результат выполнения составил 70%. Это связано с выбором тематики заданий: в двух группах вариантов предлагалось проанализировать процессы изменения агрегатных состояний вещества, которые были представлены в виде графиков (80% выполнения). Успешно справились экзаменуемые и с анализом изопроцессов, анализом ситуации с изменением относительной влажности воздуха и сравнением параметров газов в двух разных сосудах при различной температуре. Однако задания на анализ циклического процесса выполнены ниже границы освоения (44%).
Несомненно, задание объективно достаточно сложное, поскольку требует расчётов для проверки большинства утверждений: применение уравнения состояния для определения температуры, первого закона термодинамики и уравнения Менделеева-Клапейрона для вычисления количества теплоты и определения работы по графику. Верно выбрать утверждение о работе газа за цикл смогли 67% участников экзамена, а вот определить дополнительно количество теплоты и указать оба верных ответа — лишь 22%.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

[Александр Сакович]

Решение. 1) Так как за цикл масса газа m не меняется, то из уравнения Клапейрона получаем
\[\frac{p \cdot V}{T}=const=z,\ \ T=\frac{p \cdot V}{z}.\ \ \ (1)\]
Из уравнения (1) следует, что температура T будет минимальна, если будет минимально произведение p·V, а максимальна при максимальном значении p·V. Очевидно, что минимальная температура в точке 4 (здесь минимальны и давление p, и объем V), а максимальная в точке 2.
Запишем уравнение (1) для эти точек:
\[T_2=\frac{p_2 \cdot V_2}{z},\ \ T_4=\frac{p_4 \cdot V_4}{z},\]
где из графика находим, что

p₂ = 200 кПа,  V₂ = 8 л;
p₄ = 100 кПа,  V₄ = 6 л.

Решим систему полученных уравнений и учтем, что по условию T₂ = 400 К (максимальная температура):
\[\frac{T_4}{T_2}=\frac{p_4 \cdot V_4}{p_2 \cdot V_2},\ \ T_4=T_2 \cdot \frac{p_4 \cdot V_4}{p_2 \cdot V_2},\]
T₄ = 150 К.
Утверждение № 1 неверное.

2) При изохорном процессе
\[V=const,\ \ \frac{p}{T}=const=z,\ \ T=\frac{p}{z}.\ \ \ (2)\]
Из уравнения (2) следует, что температура T будем увеличиваться при увеличении давления p. Такой процесс наблюдается на участке 4-1. Запишем первый закон термодинамики для этого участка и учтем, что при изохорном процессе V₁ = V₄ и A₄₁ = 0:
\[Q_{41}=\Delta U_{41}+A_{41}=\Delta U_{41},\]
где для одноатомного газа
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R \cdot T=\frac{3}{2} \cdot p \cdot V.\]
Тогда
\[Q_{41}=\Delta U_{41}=\frac{3}{2} \cdot \left( p_1 \cdot V_1-p_4 \cdot V_4 \right)=\frac{3}{2} \cdot \left( p_1-p_4 \right) \cdot V_4.\]
Из графика находим, что

p₁ = 200·10³ Па,  p₄ = 100·10³ Па,  V₁ = V₄ = 6·10^-3 м³.

В итоге получаем

Q₄₁ = 900 Дж.

Утверждение № 2 верное.

[Александр Сакович]

3) Процессе 2-3 — это изохорный процесс, на котором давление p уменьшается, т.е. p₃ < p₂. Запишем первый закон термодинамики для этого участка и учтем, что при изохорном процессе V₂ = V₃ и A₂₃ = 0:
\[Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\Delta U_{23},\]
где для одноатомного газа
\[U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot T=\frac{3}{2} \cdot p \cdot V.\]
Тогда
\[Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2} \cdot \left( p_3 \cdot V_3-p_2 \cdot V_2 \right)=\frac{3}{2} \cdot \left( p_3-p_2 \right) \cdot V_2<0.\]
Так как Q₂₃ < 0, то газ отдает количество теплоты.
Утверждение № 3 неверное.

4) При изобарном сжатии давление газа p не меняется, а объем V уменьшается. Это наблюдается на участке 3-4. Работа над газом A₃₄´ при изобарном процесс равна
\[A'_{34}=-A_{34}=-p_3 \cdot \left( V_4-V_3 \right)=p_3 \cdot \left( V_3-V_4 \right),\]
где из графика находим, что

p₃ = 100·10³ Па,  V₄ = 6·10^-3 м³,  V₃ = 8·10^-3 м³.

Тогда

A₃₄´ = 200 Дж.

Утверждение № 4 неверное.

5) Работу газа за цикл A₁₂₃₄ можно найти как площадь прямоугольника 1234
\[A_{1234}=S_{1234}=\left( p_1-p_4 \right) \cdot \left( V_3-V_4 \right),\]
где из графика находим, что

p₁ = 200·10³ Па,  p₃ = 100·10³ Па,  V₄ = 6·10^-3 м³,  V₃ = 8·10^-3 м³.

Тогда

A₁₂₃₄ = 200 Дж.

Утверждение № 5 верное.
Ответ: 25.