ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Колебания. Задача 5.3

[Александр Сакович]

5.3 (6.5). В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси 0x, в различные моменты времени.

Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения относительно движения шарика.
1) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.
2) Период колебаний шарика равен 4 с.
3) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.
4) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.
5) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Из таблицы условия определяем, что амплитуда колебания шарика x_max = 15 мм, а координата точки равновесия x₀ = 0 мм.
2) Так как амплитуда колебаний не изменяется, то шарик совершает гармонические незатухающие колебания.
3) Из таблицы условия определяем, что шарик начинает колебания из положения равновесия (при t₀ = 0 с координата x₀ = 0 мм).
4) Из таблицы условия определяем, что за время, указанное в таблице, шарик не успевает совершить полное колебание. Но за время t₂ = 2,0 с он совершает половину колебания (из положения равновесия x₀ = 0 мм в положение равновесия x₂ = 0 мм). Тогда полное колебание шарик совершает за время равное

t₄ = 2·t₂ = 2·2,0 = 4,0 с.

Это время называют периодом T колебаний шарика.

Теория. 1) При гармонических незатухающих колебаниях модуль скорости шарика принимает максимальные значения в положении равновесия (x = 0 мм) и равна нулю в амплитудных положениях (x = ±15 мм).
2) При гармонических незатухающих колебаниях модуль ускорения шарика принимает максимальные значения в амплитудных положениях (x = ±15 мм) и равна нулю в положении равновесия (x = 0 мм).
3) При гармонических незатухающих колебаниях шарика выполняется закон сохранения механической энергии. При этом потенциальная энергия шарика переходит в кинетическую и наоборот.
4) Потенциальная энергия пружины зависит от удлинения Δl = x пружины и равна
\[W_{\text{пот}}=\frac{k \cdot x^2}{2}.\ \ \ (1)\]
5) Кинетическая энергия шарика зависит от его скорости υ и равна
\[W_{\text{кин}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}.\ \ \ (2)\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.
Потенциальная энергия пружины зависит от удлинения Δl = x пружины (см. теорию пункт 4, уравнение (1)). И эта энергия будет максимальной при максимальном удлинении x.
Из таблицы условия определяем, что в момент времени t₁ = 1,0 с удлинение x₁ = 15 мм — это максимальное удлинение.
Утверждение № 1 верное.

2) Период колебаний шарика равен 4 с.
Период колебаний шарика T = 4 с (см. анализ условия пункт 4).
Утверждение № 2 верное.

3) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.
Кинетическая энергия W_кин шарика зависит от его скорости υ (см. теорию пункт 5, уравнение (2)). И эта энергия будет минимальной при минимальном значении модуля скорости, т.е. при υ = 0.
Модуль скорости шарика принимает максимальные значения в положении равновесия и равна нулю в амплитудных положениях.
Из таблицы условия определяем, что в момент времени t₂ = 2,0 с удлинение x₂ = 0 мм — это положение равновесия, где модуль скорости максимальна.
Утверждение № 3 неверное.

4) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.
Амплитуда колебания шарика равна x_max = 15 мм (см. анализ условия пункт 1).
Утверждение № 4 неверное.

5) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.
При гармонических незатухающих колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии маятника, и его полная энергия не изменяется.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 12.