ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 24

[Александр Сакович]

Пример 24. Расстояние от искусственного спутника до поверхности Земли равно двум радиусам Земли. Во сколько раз увеличится сила притяжения спутника к Земле, если расстояние от него до поверхности Земли станет равным одному радиусу Земли?
Ответ: в ____ раз(а).

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

[Александр Сакович]

Решение. Земля имеет шарообразную форму, а любое тело около нее считаем материальной точкой (так как размеры любого тела во много раз меньше размеров Земли). Тогда сила притяжения искусственного спутника (материальной точки) к Земле будет равна
\[F=\frac{G \cdot M \cdot m}{r^2},\]
где M — масса Земли, m — масса спутника, r = R + h — расстояние от спутника до центра Земли (см. рисунок), R — радиус Земли, h — высота спутника от поверхности Земли. Тогда

Вы не можете просматривать это вложение.

\[F=\frac{G \cdot M \cdot m}{{\left( R+h \right)}^2}.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух высот: для h₁ = 2R и для h₂ = R:
\[F_1=G \cdot \frac{M \cdot m}{{\left( R+2R \right)}^2}=\frac{G \cdot M \cdot m}{9R^2},\ \ F_2=G \cdot \frac{M \cdot m}{{\left( R+R \right)}^2}=\frac{G \cdot M \cdot m}{4R^2}.\]
Тогда
\[\frac{F_2}{F_1}=\frac{G \cdot M \cdot m}{4R^2} \cdot \frac{9R^2}{G \cdot M \cdot m}=\frac{9}{4}=2,25.\]
Ответ: в 2,25 раз(а).