ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Статика 5.3

[Александр Сакович]

5.3 (6.3). Два одинаковых бруска толщиной 5 см и массой 1 кг каждый, связанные друг с другом, плавают в воде так, что уровень воды приходится на границу между ними (см. рисунок).

Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения.
1) Плотность материала, из которого изготовлены бруски, равна 500 кг/м³.
2) Сила Архимеда, действующая на бруски, равна 10 Н.
3) Если воду заменить на керосин, то глубина погружения брусков уменьшится.
4) Если на верхний брусок положить груз массой 1,5 кг, то бруски утонут.
5) Если в стопку добавить ещё один такой же брусок, то глубина её погружения увеличится на 2,5 см.
Ответ: _____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Два одинаковых бруска массой m каждый, связанные друг с другом, плавают в воде. Из условия плавания получаем, что
\[F_{A1}=2m \cdot g.\ \ \ (1)\]
2) Архимедова сила F_A, действующая на два бруска, будет равна
\[F_A=\rho \cdot g \cdot V_{\text{погр}},\]
где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, V_погр = S·Δh — объем погруженной части, S — площадь поперечного сечения бруска, Δh — высота погруженной части. Тогда
\[F_A=\rho \cdot g \cdot S \cdot \Delta h.\ \ \ (2)\]
3) Масса m бруска и его объем V связаны соотношением
\[m=\rho _{\text{бр}} \cdot V,\]
где ρ_бр — плотность бруска, V = S·h, h — высота одного бруска. Тогда
\[m=\rho _{\text{бр}} \cdot S \cdot h.\ \ \ (3)\]
4) По условию уровень воды приходится на границу между брусками, поэтому

Δh₁ = h = 5 см.

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Плотность материала, из которого изготовлены бруски, равна 500 кг/м³.
Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1) и учтем, что Δh = h = 5 см (см. анализ пункт 4):
\[\rho \cdot g \cdot S \cdot h=2\rho _{\text{бр}} \cdot S \cdot h \cdot g,\ \ \rho _{\text{бр}}=\frac{\rho }{2}=\frac{1000}{2}=500\ \text{кг/м}^3.\]
Утверждение № 1 верное.

2) Сила Архимеда, действующая на бруски, равна 10 Н.
По условию m = 1 кг, тогда силу Архимеда можно найти из уравнения (1)
\[F_{A1}=2 \cdot 1 \cdot 10=20\ \text{H}.\]
Утверждение № 2 неверное.

3) Если воду заменить на керосин, то глубина погружения брусков уменьшится.
Из уравнения (2) получаем
\[\Delta h=\frac{F_A}{\rho \cdot g \cdot S}.\]
Плотность керосина ρ₂ меньше плотности воды ρ, поэтому если тело плавало в воде, то оно будет плавать и в керосине. Так как масса брусков не изменяется, то из уравнения (1) следует, что Архимедова сила так же не изменяется. Не изменяется и площадь сечения S. Тогда из данного уравнения следует, что при уменьшении плотности жидкости ρ, глубина погружения Δh брусков увеличится.
Утверждение № 3 неверное.

4) Если на верхний брусок положить груз массой 1,5 кг, то бруски утонут.
При полном погружении двух брусков сила Архимеда увеличится в 2 раза (так как в 2 раза увеличится объем погруженной части) и станет равной F_A2 = 40 Н (см. решение пункт 2).
У двух брусков по 1 кг и груза 1,5 кг общая сила тяжести равна
\[m_{\text{общ}} \cdot g=\left( 1+1+1,5 \right) \cdot 10=35\ \text{H}.\]
Так как F_A2 > m_общ·g (40 Н > 35 Н), то бруски будут плавать.
Утверждение № 4 неверное.

5) Если в стопку добавить ещё один такой же брусок, то глубина её погружения увеличится на 2,5 см.
Для двух брусков из уравнений (1) и (2), и равенства Δh = h = 5 см (см. анализ пункт 4) получаем
\[\rho \cdot g \cdot S\cdot h=2m \cdot g.\]
Из условия плавания 3 брусков получаем, что
\[\rho \cdot g \cdot S \cdot \Delta h_2=3m \cdot g.\]
Решим систему двух уравнений. Например,
\[\frac{\rho \cdot g \cdot S \cdot \Delta h_2}{\rho \cdot g \cdot S \cdot h}=\frac{3m \cdot g}{2m \cdot g},\ \ \frac{\Delta h_2}{h}=\frac{3}{2},\]
\[\Delta h_2=\frac{3}{2} \cdot h,\ \ \Delta h_2=\frac{3}{2} \cdot 5=7,5\ \text{см}.\]
Утверждение № 5 верное.
Ответ: 15.