ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 20

[Александр Сакович]

Пример 20. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Напряжение между обкладками конденсатора изменяется во времени в соответствии с формулой U(t) = U_m·cos ω·t.
Приведённые ниже графики А и Б представляют изменения физических величин, характеризующих электромагнитные колебания в контуре (T — период колебаний).
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Ответ: ____.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

[Александр Сакович]

Комментарий ФИПИ. Здесь нужно обратить внимание на анализ начальных условий по заданной формуле (в примере в начальный момент времени напряжение между обкладками конденсатора максимально, следовательно, конденсатор максимально заряжен, и энергия его электрического поля также максимальна). Дополнительно надо обратить внимание на то, что период колебаний энергии в 2 раза меньше периода колебаний в контуре.

[Александр Сакович]

Анализ условия. По условию задано уравнение гармонического колебания напряжения между обкладками конденсатора
\[U \left( t \right)=U_m \cdot \cos \omega \cdot t.\ \ \ (1)\]
Тогда уравнения колебаний электрического заряда положительной обкладки и силы тока будут иметь вид
\[q \left( t \right)=C \cdot U \left( t \right)=C \cdot U_m \cdot \cos \omega \cdot t,\ \ \ (2)\]
\[I \left( t \right)={{\left( q \left( t \right) \right)}^{\prime }}={{\left( C \cdot U_m \cdot \cos \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=-C \cdot U_m \cdot \omega \cdot \sin \omega \cdot t.\ \ \ (3)\]
С учетом уравнений (1) и (3) уравнения энергий электрического поля конденсатора колебательного контура и магнитного поля катушки примут вид
\[W_{\text{эл}} \left( t \right)=\frac{C \cdot {{\left( U \left( t \right) \right)}^2}}{2}=\frac{C \cdot U_m^2 \cdot \cos ^2 \omega \cdot t}{2},\ \ \ (4)\]
\[W_{\text{магн}} \left( t \right)=\frac{L \cdot {{\left( I\left( t \right) \right)}^2}}{2}=\frac{L \cdot C^2 \cdot U_m^2 \cdot \omega ^2}{2} \cdot \sin ^2 \omega \cdot t.\ \ \ (5)\]

Решение. Определим график каждой физической величины, указанной в таблице.
1) Сила тока I в катушке.
График уравнения (3) — это синусоида.
Этому описанию нет соответствующих графиков.

2) Заряд q одной из обкладок конденсатора.
График уравнения (2) — это косинусоида.
Этому описанию соответствует график А.

3) Энергия W_эл электрического поля конденсатора.
График уравнения (4) — это косинусоида с удвоенной частотой (так как в уравнение есть cos² ω·t), координата которой принимает положительные значения.
Этому описанию соответствует график Б.

4) Энергия W_магн магнитного поля катушки.
График уравнения (5) — это синусоида с удвоенной частотой, координата которой принимает положительные значения.
Этому описанию нет соответствующих графиков.
Ответ: 23.