ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 14

[Александр Сакович]

Пример 14. На горизонтальном неподвижном столе лежит доска массой M = 0,8 кг. На доске находится маленький брусок массой m = 200 г. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны). Коэффициент трения между бруском и доской μ₁ = 0,5, между столом и доской μ₂ = 0,3. Доску тянут вправо горизонтальной силой F. Чему равен модуль силы F, если модуль ускорения бруска относительно стола a = 1 м/с²? Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

[Александр Сакович]

Комментарий ФИПИ. На позиции 26 предлагались преимущественно задачи по динамике на связанные тела, а группа задания на применение законов сохранения в механике. Следует отметить, что вырос с 11% в 2023 г. до 18% в 2024 г. средний результат по критерию К1 (Обоснование используемых законов). Ожидаемо более высокие результаты как по критерию К1, так и по критерию К2 продемонстрированы для заданий на связанные тела, чем для заданий на применение законов сохранения. Распределение средних процентов выполнения по баллам для решения этих задач показывает, что значимая часть приходится на однобалльные работы и существенно меньшему числу участников экзамена удается довести математическое решение до логического конца, приведя его к верному числовому ответу.
Рассмотрим результаты выполнения одного из заданий (пример 14).
По критерию К1 в этом задании требовалось указать выбор ИСО, модель материальной точки, условия равенства сил натяжения нити и равенства модулей ускорений тел. Для решения задачи необходимы также условия, что силы трения, действующие на брусок и доску, равны друг другу и противоположны по направлению по третьему закону Ньютона, а также, что модули сил нормальной реакции доски N₁ и давления бруска на доску P также равны друг другу по третьему закону Ньютона.
Но для получения балла за обоснование последних утверждений не требовалось, достаточно было использовать эти условия в решении. При таких ограничениях 21 % участников смогли получить за обоснование 1 балл. При достаточно высоком среднем результате выполнения по критерию К2 (25 %) баллы за решение распределились следующим образом: 1 балл — 27 %; 2 балла — 8 %; 3 балла — 11 %.
На основании этого распределения понятно, что запись второго закона Ньютона для бруска и доски вполне посильна группам с повышенным и высоким уровнями предметной подготовки, математические преобразования в этой задаче минимальны и также не должны вызывать сложностей. Проблемы возникали прежде всего при выполнении рисунка, в котором зачастую участники забывали указать силу давления бруска на доску, в связи с чем возникали и проблемы с записью проекций на вертикальную ось в законе Ньютона для доски или для силы трения между доской и столом.

[Александр Сакович]

Решение. Обозначим массу бруска как m₁ = 0,2 кг, массу доски m₂ = 0,8 кг.
На брусок массой m₁ действуют сила тяжести m₁·g, сила реакции опоры N₁, сила натяжения нити Т₁, сила трения F_тр1. Так как брусок будет двигаться влево, то сила трения направлена вправо (см. рисунок 1).

На доску массой m₂ действуют сила тяжести m₂·g, сила реакции опоры N₂, сила давления бруска N₃, сила натяжения нити Т₂, сила трения F_тр2 с бруском, сила трения F_тр3 со столом и сила тяги F. Доска движется вправо, поэтому сила трения F_тр3 направлена влево (см. рисунок 2).

Ускорение a₂ доски направлено в сторону силы F, ускорение a₁ бруска — в противоположную сторону. Оси координат направим так, как показано на рисунках.
Между бруском и доской будет действовать сила трения как на брусок F_тр1 (направлена против скорости верхнего бруска), так и на доску F_тр2. По третьему закону Ньютона F_тр1 = F_тр2 и N₃ = N₁. Эти силы равны по значению и направлены в противоположные стороны.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью стола (Земли). Брусок и доску будем считать материальными точками, так как они двигаются поступательно. Тогда можем применять второй закон Ньютона. Запишем его в векторном виде и в проекциях на оси координат для бруска и доски:
\[m_1 \cdot \vec{a}_1=\vec{N}_1+\vec{T}_1+m_1 \cdot \vec{g}+ \vec{F}_{\text{тр1}},\ \ m_2 \cdot \vec{a}_2=\vec{N}_2+\vec{N}_3+m_2 \cdot \vec{g}+\vec{T}_2+\vec{F}_{\text{тр2}}+\vec{F}_{\text{тр3}}+\vec{F},\]
\[0X:\ -m_1 \cdot a_1=-T_1+F_{\text{тр1}},\]
\[0X:\ m_2 \cdot a_2=-T_2- F_{\text{тр2}}-F_{\text{тр3}}+F,\]
\[0Y:\ 0=N_1-m_1 \cdot g,\ \ \ (1)\]
\[0Y:\ 0=N_2-N_3-m_2 \cdot g,\ \ \ (2)\]
где Т₁ = Т₂ = Т, так как нить и блок невесомые; а₁ = а₂ = а, так как нить нерастяжимая. Тогда
\[-m_1 \cdot a=-T+F_{\text{тр1}},\ \ \ (3)\]
\[m_2 \cdot a=-T- F_{\text{тр2}}- F_{\text{тр3}}+F.\ \ \ (4)\]
Силы трения, с учетом уравнений (1) и (2), распишем следующим образом:
\[N_1=N_3=m_1 \cdot g,\ \ N_2=N_3-m_2 \cdot g=\left( m_1-m_2 \right) \cdot g,\]
\[F_{\text{тр1}}=F_{\text{тр2}}=\mu _1 \cdot N_1= \mu _1 \cdot m_1 \cdot g,\ \ F_{\text{тр3}}=\mu _2 \cdot N_2=\mu _2 \cdot \left( m_2+m_1 \right) \cdot g.\]
Решим систему уравнений (3)-(4) и подставим в нее силы трения. Например, из уравнения (4) вычтем уравнение (3):
\[\left( m_2+m_1 \right) \cdot a=F-2F_{\text{тр1}}-F_{\text{тр3}},\ \ F=\left( m_2+m_1 \right) \cdot a+2F_{\text{тр1}}+F_{\text{тр3}}=\]
\[=\left( m_2+m_1 \right) \cdot a+\left( 2\mu _1 \cdot m_1+\mu _2 \cdot \left( m_2+m_1 \right) \right) \cdot g,\]

F = 6 Н.

Ответ: 6 Н.