ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Электромагнитная индукция 23.5

[Александр Сакович]

23.5 (26.5). Проволочную квадратную рамку сопротивлением 4 Ом и стороной 20 см вдвигают в область однородного магнитного поля с индукцией B = 50 мТл со скоростью υ = 1 м/с. Вектор B индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости рамки. Скорость рамки направлена перпендикулярно стороне рамки и вектору магнитной индукции B (см. рисунок). Определите индукционный ток, возникающий в рамке.

Ответ: ____ мА.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. 1 способ. Модуль ЭДС E_i индукции, возникающая в рамке при равномерном изменении магнитного потока, равен
\[\left| E_i \right|=\frac{\left| \Delta \Phi  \right|}{\Delta t},\]
где \(  \Delta \Phi ={{\Phi }_{2}}-{{\Phi }_{1}},\ \ \Phi =B\cdot S\cdot \cos \alpha ,  \) β = 90º (вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости рамки), α = 90º – β = 0º, cos 0º = 1, B₁ = B₂ = B, α₁ = α₂ = α — вектор магнитной индукции и угол не меняются.
Магнитный поток будет изменяться только в то время, пока рамка входит (или выходит) в магнитное поле. Поэтому и индукционный ток будет существовать только в эти моменты времени.
Отсчет времени начнем с того момента времени, когда рамка коснется границы магнитного поля. Пусть b = 0,2 м — это сторона квадрата. Первый индукционный ток в рамке будет в течение времени
\[\Delta t_1=\frac{b}{\upsilon },\ \ \ (1)\]
за которое рамка полностью войдет в магнитное поле. Поэтому площадь квадратной рамки, которая находится в магнитном поле, в начальный момент S₁ = 0, через время Δt₁ — S₂ = b². Тогда с учетом уравнения (1) получаем
\[\Delta \Phi =B_2 \cdot S_2 \cdot \cos {\alpha _2}-B_1 \cdot S_1 \cdot \cos {\alpha _1}=B \cdot \left( S_2-S_1 \right) \cdot \cos \alpha =B \cdot b^2,\]
\[\left| E_i \right|=\frac{B \cdot b^2}{\Delta t_1}=\frac{B \cdot b^2 \cdot \upsilon }{b}=B \cdot b \cdot \upsilon .\ \ \ (2)\]
Зная ЭДС E_i индукции (уравнение (2)) и сопротивление рамки R, по закону Ома найдем силу тока
\[I_i=\frac{\left| E_i \right|}{R}=\frac{B \cdot b \cdot \upsilon }{R},\]

I_i = 2,5·10^–3 А = 2,5 мА.

[Александр Сакович]

2 способ. Обозначим стороны квадратной рамки буквами ACDE (см. рисунок 1).
В проводнике, который движется в магнитном поле, возникает ЭДС E_i индукции, модуль которой равен
\[\left| E_i \right|=B \cdot l \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha ,\]
где β = 90° (вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости контура), α = 90º– β = 0º — угол между плоскостью рамки и перпендикуляром к плоскости, cos 0º = 1,  l = b — сторона рамки. Тогда
\[\left| E_i \right|=\upsilon \cdot B\cdot b.\ \ \ (3)\]
Так как рамка замкнута, то в ней возникнет индукционный ток, направление которого в каждой части рамки будем определять по правилу левой руки.
В проводниках AC и ED индукционный ток не создается, т.к. они параллельны скорости рамки, и сила Лоренца, создающая ток, перпендикулярна поверхности проводников.
1 случай — рамка начинает входить в магнитное поле (см. рисунок 1).

Индукционный ток возникает только в проводнике CD и будет направлен вверх. Тогда общий ток в рамке будет направлен против часовой стрелки и равен
\[I_1=I_i.\]
Зная ЭДС E_i индукции (уравнение (3)) и сопротивление рамки R, по закону Ома найдем силу тока
\[I_1=I_i=\frac{\left| E_i \right|}{R}=\frac{B \cdot b \cdot \upsilon }{R},\]

I_i = 2,5·10^–3 А = 2,5 мА.

2 случай — рамка полностью вошла в магнитное поле (см. рисунок 2).Индукционные токи возникают в проводниках CD и AE, и будут направлены вверх. Тогда общий ток в рамке будет равен (равные токи направлены навстречу друг другу)
\[I_2=I_{i1}-I_{i2}=0.\]

3 случай — рамка начинает выходить из магнитного поля (см. рисунок 3). Этот случай аналогичен случаю 1, только индукционный ток будет возникать в проводнике AE. Тогда общий ток в рамке будет направлен по часовой стрелки и равен
\[I_3=I_1=I_i.\]
Ответ: 2,5 мА.