ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Магнитное поле 23.8

[Александр Сакович]

23.8 (26.8 ). Две положительно заряженные частицы, имеющие отношение масс m₂/m₁ = 2, влетели с одинаковыми скоростями в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Найдите отношение зарядов частиц q₂/q₁, если отношение радиусов траектории, по которым движутся частицы, R₂/R₁ = 0,5.
Ответ: ____ .

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Получим формулы зависимости заряда q частицы от ее массы m и скорости υ в магнитном поле.
Будем считать, что частицы маленькие и их можно считать материальными точками. А сила Лоренца во много раз превышает силу тяжести, поэтому силой тяжести частиц можно пренебречь. Тогда на частицу действует только одна сила Лоренца F. И при движении по окружности и сила Лоренца F, и центростремительное ускорение a направлены к центру окружности.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета (ИСО), связанной с Землей. Тогда в ИСО для материальной точки можно записать второй закон Ньютона
\[m \cdot a=F,\]
где \( a=\frac{\upsilon ^2}{R},\ \ F=\left| q \right| \cdot B \cdot \upsilon \cdot \sin \alpha , \) q > 0, α = 90°, sin 90º = 1. Тогда
\[\frac{m \cdot \upsilon ^2}{R}=q \cdot \upsilon \cdot B,\ \ q=\frac{m \cdot \upsilon }{R \cdot B}.\;\;\;(1)\]
Запишем уравнение (1) для двух частиц с массами m₁ и m₂:
\[q_1=\frac{m_1 \cdot \upsilon _1}{R_1 \cdot B_1},\ \ q_2=\frac{m_2 \cdot \upsilon _2}{R_2 \cdot B_2},\]
где по условию В₂ = B₁ = B,  υ₁ = υ₂ = υ, \( frac{m_2}{m_1}=2,\ \ \frac{R_2}{R_1}=0,5 \) или m₂ = 2m₁, R₂ = 0,5R₁. С учетом условия получаем
\[q_1=\frac{m_1 \cdot \upsilon }{R_1 \cdot B},\ \ q_2=\frac{2m_1 \cdot \upsilon }{0,5R_1 \cdot B}=\frac{4m_1 \cdot \upsilon }{R_1 \cdot B}.\]
Тогда
\[\frac{q_2}{q_1}=\frac{4m_1 \cdot \upsilon }{R_1 \cdot B} \cdot \frac{R_1 \cdot B}{m_1 \cdot \upsilon }=4.\]
Примечание. В условие задачи необходимо добавить, что размерами частиц и силой тяжести частиц можно пренебречь. Иначе решение задачи будет зависеть от направления скорости частиц и вектора магнитной индукции по отношению к направлению силы тяжести.
Ответ: 4.