ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 21

[Александр Сакович]

Пример 21. На рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц, вылетающих из источника частиц (и.ч.), для последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиусом R. При первоначальном напряжении U в промежутке между обкладками конденсатора, не касаясь их, пролетают молекулы интересующего исследователей вещества, потерявшие один электрон. Во сколько раз нужно изменить напряжение на обкладках конденсатора, чтобы сквозь него могли пролетать такие же, но дважды ионизированные молекулы (потерявшие два электрона), имеющие такую же скорость? Считать, что расстояние между пластинами мало, напряженность электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Несмотря на то что такая ситуация встречается в задачах открытого банка заданий ЕГЭ по физике, лишь 8% экзаменуемых смогли верно записать второй закон Ньютона для движения частицы в таком конденсаторе:
\[q \cdot E=m \cdot \frac{\upsilon ^2}{R},\]
где q, m и υ — соответственно заряд, масса и скорость иона, Е — напряженность электрического поля. А затем связать напряженность электрического поля E с напряжением между обкладками конденсатора: U = E·d. При этом тех, кто получил 1 балл за решение, т.е. не записал одну из формул или ошибся в ней, всего 3%. Это означает, что большинство участников не разобралось в физической модели: не смогло применить движение заряженной частицы по окружности не к магнитному полю, а к электростатическому полю в цилиндрическом конденсаторе.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Решение. Ион пролетит сквозь конденсатор, не коснувшись его пластин, только в том случае, если будет двигаться по окружности радиуса R. Так как силой тяжести иона пренебрегаем, то на ион с силой F действует только электрическое поле конденсатора с напряженностью E. Так как конденсатор искривлен, то направление напряженности будет непрерывно меняться. Сила F будет направлена по радиусу и совпадать с направлением ускорения. Запишем второй закон Ньютона
\[m \cdot a=F,\]
где
\[a=\frac{\upsilon ^2}{R},\ \ F=\left| q \right| \cdot E,\ \ E=\frac{U}{d},\]
m, q — масса и заряд иона, U — напряжение на конденсаторе, d — расстояние между пластин конденсатора. Тогда
\[m \cdot \frac{\upsilon ^2}{R}=\left| q \right| \cdot \frac{U}{d},\ \ U=\frac{m \cdot d \cdot \upsilon ^2}{\left| q \right| \cdot R}.\]
Запишем полученное уравнение для двух ионов с зарядами q₁ и q₂, где q₁ = e (потерял один электрон), q₂ = 2e (потерял два электрона), e = 1,6·10^–19 Кл — модуль заряда электрона (см. Справочные данные, таблицу «Константы»).
\[U_1=\frac{m \cdot d \cdot \upsilon ^2}{e \cdot R},\ \ U_2=\frac{m \cdot d \cdot \upsilon ^2}{2e \cdot R}.\]
По условию масса m ионов не поменялась (такие же молекулы), их скорость υ, радиус R пластин и расстояние d между ними не изменились.
\[\frac{U_2}{U_1}=\frac{m \cdot d \cdot \upsilon ^2}{2e \cdot R} \cdot \frac{e \cdot R}{m \cdot d \cdot \upsilon ^2}=\frac{1}{2},\ \ U_1=2U_2.\]
Напряжение U нужно уменьшить в 2 раза.
Ответ: уменьшить в 2 раза.