ЕГЭ 2023. Анализ ошибок. Пример 15

[Александр Сакович]

Пример 15. Две большие параллельные вертикальные пластины из диэлектрика расположены на расстоянии d = 5 см друг от друга. Пластины равномерно заряжены разноимёнными зарядами. Модуль напряжённости поля между пластинами E = 6·10⁵ В/м. Между пластинами, на равном расстоянии от них, помещён маленький шарик с зарядом q = 5·10^-11 Кл и массой m = 3·10³ г. После того как шарик отпускают, он начинает падать. Какую скорость будет иметь шарик, когда коснётся одной из пластин? Трением о воздух и размерами шарика пренебречь.

Лишь 6% участников смогли проанализировать движение шарика, для которого модуль скорости в момент касания пластины
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _{\text{г}}^2+\upsilon _{\text{в}}^2},\]
где υ_г и υ_в — проекции скорости шарика на соответственно горизонтальную и вертикальную оси: υ_г = a_эл·t, и υ_в = g·t, где t — время движения шарика, a_эл — проекция ускорения шарика на горизонтальную ось.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

[Александр Сакович]

Решение. Напряженность электрического поля двух больших параллельных вертикальных пластин из диэлектрика, равномерно заряженных разноимёнными зарядами, направлена горизонтально. Предположим, что слева положительная пластина, тогда напряженность будет направлена вправо.
На маленький заряженный шарик (точечный заряд) действуют сила тяжести m·g, направленная вертикально вниз, и сила F электрического поле пластин. Эта сила направлена вправо, в сторону напряженности E, т.к. заряд шарика q > 0. Ось 0Х направим по силовой линии, ось 0Y вниз (см. рисунок 1).

Так как шарик маленький, то его можно считать материальной точкой. Запишем второй закон Ньютона для материальной точки
\[m \cdot \vec{a}=\vec{F}+m \cdot \vec{g},\]
\[0X:\ m \cdot a_x=F,\ \ 0Y:\ m \cdot a_y=m \cdot g,\]
где \( F=q \cdot E. \) Тогда
\[m \cdot a_x =q \cdot E,\ \ a_x=\frac{q \cdot E}{m},\ \ \ (1)\]
\[a_y=g.\ \ \ (2)\]
Под действием сил шарик переместится из начальной точки «0» в точку «1» (конечное положение, когда он коснётся пластины). В точке «0» обозначим скорость υ₀ = 0 (шарик вначале был неподвижен); в точке «1» скорость υ₁, шарик окажется здесь через время t₁. Ось 0Х так же направим вправо, ось 0Y вниз (см. рисунок 2).

Необходимо найти скорость υ₁ шарика. Модуль скорости υ₁ и его проекции υ_1x и υ_1y связаны соотношением
\[\upsilon _1=\sqrt{\upsilon _{1x}^2+\upsilon _{1y}^2},\ \ \ (3)\]
где υ_1x и υ_1y найдем из уравнений для равноускоренного движения
\[\upsilon _{1x}=\upsilon _{0x}+a_x \cdot t_1,\ \ \upsilon _{1y}=\upsilon _{0y}+a_y \cdot t_1.\]
Так как по условию шарик начинает падать, то υ_0x = υ_0y = 0. С учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[\upsilon _{1x}=\frac{q \cdot E}{m} \cdot t_1,\ \ \upsilon _{1y}=g \cdot t_1.\;\;\;(4-5)\]
Если в момент времени t₁ шарик достиг пластины, то x₁ = d/2 (шарик был помещен на равном расстоянии от пластин), тогда уравнение движение по оси 0X можно записать так (см. рисунок 2)
 \[x=x_0 + \upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_x \cdot t^2}{2},\ \ \frac{d}{2}=a_x \cdot \frac{t_1^2}{2}=\frac{q \cdot E}{m} \cdot \frac{t_1^2}{2},\;\;\;(6)\]
где x₀ = 0 м, υ_0x = 0. Из уравнения 6 найдем t₁, подставим его в уравнения (4) и (5), а затем в (3):
\[t_1^2=\frac{d \cdot m}{q \cdot E},\ \ \upsilon _1=\sqrt{{{\left( \frac{q \cdot E}{m} \right)}^2} \cdot t_1^2+g^2 \cdot t_1^2}=\sqrt{{{\left( \frac{q \cdot E}{m} \right)}^2} \cdot \frac{d \cdot m}{q \cdot E}+g^2 \cdot \frac{d \cdot m}{q \cdot E}}=\]
\[=\sqrt{\frac{q \cdot E}{m} \cdot d+g^2 \cdot \frac{d \cdot m}{q \cdot E}},\]

υ = 1 м/с.