ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 13

[Александр Сакович]

Пример 13. Влажный воздух находится в вертикальном гладком цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем с площадью S. На поршень медленно насыпают песок. На стенках сосуда появляется роса, если масса песка становится равной m. Температура влажного воздуха в сосуде поддерживается постоянной. Снаружи сосуда давление воздуха равно нормальному атмосферному давлению p₀. Определите первоначальную относительную влажность воздуха в сосуде.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

[Александр Сакович]

Комментарий ФИПИ. По молекулярной физике в КИМы были включены стандартные задачи, результаты решения которых в целом оказались выше, чем в прошлом году: 12 % в 2023 г., 21 % в 2024 г. Самые высокие результаты продемонстрированы для задач на определение относительной влажности воздуха в сосуде после удаления перегородки, если первоначально в двух частях сосуда была различная относительная влажность воздуха — 31 %. Труднее оказались задачи на применение первого закона термодинамики и законов для изопроцессов для двух различных процессов, представленных в виде графика, — 22 %, и задачи на определение КПД цикла — в среднем 19 %.
Наиболее сложными оказались задачи, одна из которых приведена ниже. Средний результат решения этих задач составил всего 8 %. При этом проблемы были связаны прежде всего с непониманием тех процессов, которые описаны в задаче: 1) факт, что в начальном состоянии давление в сосуде под невесомым поршнем равно атмосферному давлению p₀, 2) если масса поршня вместе с песком становится равна m, то появляется роса, и, значит, относительная влажность воздуха становится равной 100 %, а давление в цилиндре под поршнем — p₂ = p₀ + m·g/S; 3) закон Бойля — Мариотта следует записать для двух случаев: p₀·V₁ = p₂·V₂ для влажного воздуха; p_п·V₁ = p_нас·V₂ для водяного пара, где V₁ и V₂ — соответственно начальный и конечный объемы сосуда.

[Александр Сакович]

Решение. Первоначальная относительная влажность воздуха равна
\[\varphi _1=\frac{p_{\text{п}1}}{p_{\text{нп}}} \cdot 100,\ \ \ (1)\]
где p_п1 — парциальное давление пара, p_нп — давление насыщенного пара при данной температуре.
Так как влажный воздух первоначально находился под невесомым поршнем, то его давление p₁ под поршнем было равно атмосферному p₀, т.е.
\[p_1=p_0.\ \ \ (2)\]
Теперь рассмотрим случай, когда на поршень медленно насыпают песок массой m. Тогда давление влажного воздуха p₂ под поршнем будем равно
\[p_2=p_0+\frac{m \cdot g}{S}.\ \ \ (3)\]
Так как при этом на стенках сосуда появляется роса, то относительная влажность воздуха φ₂ становится равной 100%, а давление пара
\[p_{\text{п}2}=p_{\text{нп}}\ \ \ (4)\]
(температура воздуха в сосуде поддерживается постоянной, поэтому давление насыщенного пара p_нп не изменяется).
Так как пар стал насыщенным только при массе песка m, то до этой массы пар был ненасыщенным, и для пара, и для влажного воздуха при сжатии до давления p₂ можно применять уравнения для идеального газа. При постоянной температуре можем записать:
для воздуха
\[p_1 \cdot V_1=p_2 \cdot V_2,\]
для пара
\[p_{\text{п}1} \cdot V_1=p_{\text{п}2} \cdot V_2,\]
где V₁ и V₂ — соответственно начальный и конечный объемы воздуха под поршнем. Из системы двух последних уравнений найдем давление пара p_п2 и учтем равенства (2)-(4). Например,
\[\frac{V_1}{V_2}=\frac{p_2}{p_1}=\frac{p_0+\frac{m \cdot g}{S}}{p_0}= \frac{p_0 \cdot S+m \cdot g}{p_0 \cdot S},\]
\[p_{\text{п}2}=p_{\text{нп}}=p_{\text{п}1} \cdot \frac{V_1}{V_2}= p_{\text{п}1} \cdot \frac{p_0 \cdot S+m \cdot g}{p_0 \cdot S}.\]
Подставим полученное выражение в уравнение (1):
\[\varphi _1=\frac{p_{\text{п}1}}{p_{\text{нп}}} \cdot 100= \frac{p_0 \cdot S \cdot 100}{p_0 \cdot S+m \cdot g}.\]
Ответ: \( \varphi _1=\frac{p_0 \cdot S \cdot 100}{p_0 \cdot S+m \cdot g}. \)