ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Колебания. Задача 6.7

[Александр Сакович]

6.7 (8.9). Груз, привязанный к нити, в момент t = 0 вышел с начальной скоростью υ₀ из состояния равновесия (см. рисунок). 

На графиках А и Б показано изменение физических величин, характеризующих движение груза после этого. T — период колебаний.
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. Потенциальную энергию принять равной нулю в положении равновесия груза.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Ответ: ____

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Груз в момент t = 0 с вывели из положения равновесия (x = 0 м) в сторону левее точки 0, где x < 0. Следовательно, уравнение координаты имеет вид
\[x\left( t \right)=-A \cdot \sin \omega \cdot t.\ \ \ (1)\]
Тогда уравнение проекции скорости груза υ_x будет иметь вид
\[\upsilon _x=x'_t={{\left( -A \cdot \sin \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=-A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t.\ \ \ (2)\]
Так как колебания математического маятника будут гармоническими только при малых углах отклонения α, то считаем, что
\[\upsilon =\frac{\upsilon _x}{\cos \alpha } \approx \upsilon _x.\]
С учетом уравнения (2) запишем формулу для кинетической энергии груза
\[E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}=\frac{m \cdot \upsilon _x^2}{2}=\frac{m}{2} \cdot A^2 \cdot \omega ^2 \cdot \cos ^2 \omega \cdot t.\ \ \ (3)\]
Потенциальная энергия груза
\[E_{\text{п}}=m \cdot g \cdot h.\ \ \ (4)\]
График уравнения (1) — это синусоида, координата которой в начале движения принимает отрицательные значения.
Этому описанию соответствует график Б.
Ответ: Б1.

График уравнения (2) — это косинусоида, координата которой в начале движения принимает отрицательные значения.
Этому описанию не соответствует ни один график.

График уравнения (3) — это косинусоида с удвоенной частотой, координата которой принимает положительные значения.
Этому описанию не соответствует ни один график.

Тогда методом исключения график уравнения (4) — это график А.
*Можно получить формулу гармонического колебания потенциальной энергии груза таким образом (учтем уравнение (3) и то, что υ_max = A·ω):
\[E_{\text{п}}=E_{\max }-E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon _{\max }^2}{2}-\frac{m}{2} \cdot A^2 \cdot \omega ^2 \cdot \cos ^2 \omega \cdot t=\]
\[=\frac{m \cdot A^2 \cdot \omega ^2}{2} \cdot \left( 1-\cos ^2 \omega \cdot t \right)=\frac{m \cdot A^2 \cdot \omega ^2}{2} \cdot \sin ^2 \omega \cdot t.\]
Ответ: А4.
Общий ответ: 41.