ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Сохранение. Контроль 2.3

[Александр Сакович]

3. Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 15 г попадает в неподвижно висящий на длинной нити груз, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальная высота подъёма груза от положения равновесия при этом составляет 45 см. Какова масса груза?
Ответ: ____ г.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Так как удар неупругий, то при ударе будут потери энергии. Поэтому рассмотрим два процесса: 1) столкновение пули и груза (неупругий удар), 2) движение системы груз-пуля на нити.

1) Процесс столкновения пули и груза. По вертикали есть не скомпенсированная сила (сила тяжести), но ее проекция на горизонтальную ось равна нулю. Следовательно, будет выполняться закон сохранения импульса для системы груз-пуля на ось 0Х (см. рисунок 1, начальная скорость груза υ_гр0 = 0):
\[0X:\ \ p_{0x}=p_x,\ \ m_{\text{п}} \cdot \upsilon _{\text{п0}}= \left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon ,\]
\[\upsilon =\frac{m_{\text{п}} \cdot \upsilon _{\text{п0}}}{m_{\text{гр}}+m_{\text{п}}}.\;\;\;(1)\]
2) Процесс движения системы груз-пуля на нити. В системе нет непотенциальных сил (по умолчанию), поэтому можем применять закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится груз в нижнем положении (см. рисунок 2).
Полная механическая энергия системы груз-пуля в начальном состоянии
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{к0}}=\frac{\left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right) \cdot \upsilon ^2}{2}.\]
С учетом уравнения (1) получаем
\[E_{\text{мех0}}=\frac{m_{\text{гр}}+m_{\text{п}}}{2} \cdot \left( \frac{m_{\text{п}} \cdot \upsilon _{\text{п0}}}{m_{\text{гр}}+m_{\text{п}}} \right)^2= \frac{m_{\text{п}}^2 \cdot \upsilon _{\text{п0}}^2}{2 \cdot \left( m_{\text{гр}}+ m_{\text{п}} \right)}.\]
Полная механическая энергия системы груз-пуля в конечном состоянии
\[E_{\text{мех}}=\left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right) \cdot g \cdot h.\]
Тогда
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{мех}},\ \ \frac{m_{\text{п}}^2 \cdot \upsilon _{\text{п0}}^2}{2 \cdot \left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right)}= \left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right) \cdot g \cdot h,\]
\[m_{\text{п}}^2 \cdot \upsilon _{\text{п0}}^2=2 \cdot \left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right)^2 \cdot g \cdot h,\ \ \left( m_{\text{гр}}+m_{\text{п}} \right)^2= \frac{m_{\text{п}}^2 \cdot \upsilon _{\text{п0}}^2}{2g \cdot h},\]
\[m_{\text{гр}}=\sqrt{\frac{m_{\text{п}}^2 \cdot \upsilon _{\text{п0}}^2}{2g \cdot h}}-m_{\text{п}}= m_{\text{п}} \cdot \left( \frac{\upsilon _{\text{п0}}}{\sqrt{2g \cdot h}}- 1 \right),\]

m_гр = 85 г.

Ответ: 85 г.