ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Задача 22.8

[Александр Сакович]

22.8 (25.8 ). Летящий снаряд разрывается на два осколка, при этом первый осколок летит со скоростью 50 м/с под углом 90° по отношению к направлению движения снаряда, а второй — со скоростью 200 м/с под углом 30°. Найдите отношение массы первого осколка к массе второго осколка.
Ответ: ____ .

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Скорость снаряда изменяет взрыв. До взрыва двигался только снаряд. После взрыва осколки снаряда двигались отдельно друг от друга.
Начальный и конечный импульсы системы тел (осколки снаряда) равны соответственно
\[\vec{p}_0=\left( m_1+m_2 \right) \cdot \vec{\upsilon }_0,\ \ \vec{p}==m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1+m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2.\]
Так как при взрыве считаем, что силой тяжести осколков (по сравнению с силой взрыва) можно пренебречь, то в системе внешними силами можно пренебречь. Запишем закон сохранения импульса системы тел:
\[\vec{p}_0=\vec{p},\ \ \left( m_1+m_2 \right) \cdot \vec{\upsilon }_0= m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1 +m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2.\ \ \ (1)\]
1 способ (координатный). Направим ось 0Y вдоль конечной скорости первого осколка (см. рисунок 1). По условию не сказано, куда будет направлена скорость второго осколка (под углом 30º вверх или вниз).
Запишем уравнение (1) в проекции на вертикальную ось:
\[0Y:\ 0=m_1 \cdot \upsilon _1+m_2 \cdot \upsilon _{2y},\ \ \upsilon _{2y}=-\frac{m_1 \cdot \upsilon _1}{m_2}<0.\]
Так как υ_2y < 0, то данная скорость направлена под углом 30º вниз (см. рисунок 2). И тогда проекция уравнения (1) примет вид:
\[0Y:\ 0=m_1 \cdot \upsilon _1-m_2 \cdot \upsilon _2 \cdot \sin \alpha ,\ \ m_1 \cdot \upsilon _1= m_2 \cdot \upsilon _2 \cdot \sin \alpha ,\]
\[\frac{m_1}{m_2}=\frac{\upsilon _2 \cdot \sin \alpha }{\upsilon _1},\ \ \frac{m_1}{m_2}=2.\]
2 способ (векторный). Из уравнения (1) получаем, что
\[m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2= \left( m_1+m_2 \right) \cdot \vec{\upsilon }_0- m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1.\]
Построим треугольник импульсов по данному уравнению (см. рисунок 3). Получили прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это импульс m₂·υ₂, а катеты — импульсы m₁·υ₁ и (m₁ + m₂)·υ₀. Тогда из прямоугольного треугольника получаем
\[\sin \alpha =\frac{m_1 \cdot \upsilon _1}{m_2 \cdot \upsilon _2},\ \ \frac{m_1}{m_2}=\frac{\upsilon _2 \cdot \sin \alpha }{\upsilon _1},\ \ \frac{m_1}{m_2}=2.\]
Ответ: 2.