Форум "ЕГЭ по физике"

6. Из начала декартовой системы координат 0xy в момент времени t = 0 тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту. Ось x направлена вдоль горизонтальной поверхности; ось y — вертикально вверх. В таблице приведены результаты измерения проекции скорости тела υ_y и значения координаты x в зависимости от времени наблюдения.
Выберите все верные утверждения на основании данных, приведённых в таблице.
1) В начальный момент времени скорость тела равна 4 м/с.
2) Тело брошено под углом 30° к горизонту.
3) Длительность полёта тела составила 1 с.
4) В момент времени t = 0,5 с тело находилось на высоте 0,45 м от поверхности Земли.
5) В момент падения скорость тела была примерно равна 7 м/с.
Ответ: _____.

Решение. На рисунке показана траектория движения тела, брошенного под углом α к горизонту из начала координат.
При свободном падении тел можно использовать следующие уравнения:
\[ x=x_0+ \upsilon _{0x} \cdot t,\ \ y=y_0+ \upsilon _{0y} \cdot t + \frac{g_y \cdot t^2}{2}, \]
\[ \upsilon _y = \upsilon _{0y} + g_y \cdot t,\ \ \upsilon _x = \upsilon _{0x}, \]
где x₀ = 0 м, υ_0х = υ₀·cos α, y₀ = 0 м, υ_0y = υ₀·sin α, g_y = –g. Тогда
\[ x=\upsilon _{0x} \cdot t = \upsilon _0 \cdot \cos \alpha \cdot t,\;\;\;(1) \]
\[ y= \upsilon _0 \cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g \cdot t^2}{2},\;\;\;(2) \]
\[ \upsilon _y = \upsilon _{0y} -g \cdot t = \upsilon _0 \cdot \sin \alpha -g \cdot t.\;\;\;(3) \]
Из таблицы видно, что:
на промежутке от 0 с до 0,5 с тело поднималось вверх (так как υ_y > 0), затем на промежутке от 0,5 с до 1,0 с стало падать вниз (так как υ_y < 0);
тело достигло максимальной высоты в момент времени t₁ = 0,5 с (так как υ_y = 0).

Проверим все утверждения.
Утверждение 1. Определим скорость тела υ₀ в начальный момент времени по формуле
\[ \upsilon _0=\sqrt{\upsilon _{0x}^2+\upsilon _{0y}^2},\;\;\;(4) \]
где начальную проекцию скорости υ_0x найдем из уравнений (1)
\[ \upsilon _{0x}=\frac{x}{t}. \]
Из таблицы выберем значения x и t, например, для t = 1 c координата x = 5 м. Тогда
υ_0x = 5 м/с.
Так как в момент времени t₁ = 0,5 с проекция скорости υ_y = 0, то из уравнения (3) получаем
\[ 0=\upsilon _{0y}-g \cdot t_1,\ \ \upsilon _{0y}=g \cdot t_1, \]
υ_0y = 5 м/с.
Подставим полученные значения в уравнение (4)
\[ \upsilon _0 = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50}\approx 7,07. \]
Следовательно, утверждение № 1 неверное.

Утверждение 2. Так как υ₀ = √50 м/с, а υ_0y = 5 м/с (см. пункт 1 решения), то
\[ \upsilon _{0y}=\upsilon _0 \cdot \sin \alpha ,\ \ \sin \alpha =\frac{\upsilon _{0y}}{\upsilon _0} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{25}{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \]
α = 45º.
Следовательно, утверждение № 2 неверное.

Утверждение 3. Из таблицы видно, что через t₂ = 1 c проекция скорости υ_y = –5 м/с стала численно равна проекции начальной скорости υ_0y (см. пункт 1 решения). Поэтому может сделать вывод, что тело оказалось на той же высоте, с которой его бросили. Закончился ли на этом полет тела мы точно сказать не может (в условии не хватает информации). Но так как больше значений в таблице нет, можем предположить, что измерения, а значит и полет на этом закончился.
Следовательно, утверждение № 3 верное.

Утверждение 4. Высоту, на которой находилось тело в момент времени t₃ = 0,5 с найдем из уравнения 2, где υ₀ = √50 м/с (см. пункт 1 решения), α = 45º (см. пункт 2 решения):
\[ y\left( t_3 \right)=\upsilon _0 \cdot \sin \alpha \cdot t_3-\frac{g \cdot t_3^2}{2},\ \ y\left( t_3 \right)=\sqrt{50}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0,5-5 \cdot {0,5^2} =1,25. \]
Следовательно, утверждение № 4 неверное.

Утверждение 5. Определим скорость тела υ в момент падения по формуле
\[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+\upsilon _y^2}, \]
где υ_x = υ_0x = 5 м/с (см. пункт 1 решения), υ_y = –5 м/с (см. таблицу для t = 1 c). Тогда
\[ \upsilon =\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}\approx 7. \]
Примечание. Если высота, с которой тело бросили, равна высоте, на которую тело упало, то υ = υ₀ ≈ 7 м/с (см. пункт 1 решения).
Следовательно, утверждение № 5 верное.
Ответ: 35