Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 19.
Маленькое положительно заряженное тело массой m, прикреплённое к невесомой нерастяжимой нити длиной L, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции B которого перпендикулярен плоскости и направлен так, как показано на рисунке. Модуль наименьшей скорости тела в нижней точке, при которой тело совершает полный оборот по окружности, равен υ_н. Заряд тела равен q. Найдите модуль вектора индукции магнитного поля.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025. (https://web-physics.ru/smf/index.php?topic=673.0)

Информация ФИПИ. Здесь верная запись второго закона Ньютона и закона сохранения энергии возможна только при понимании условия минимальности скорости в нижней точке. В верхней точке тело не останавливается, имея некоторую скорость, но сила натяжения нити в этой точке равна нулю. Поэтому второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось в верхней точке:
\[m\cdot a=m\cdot g-q\cdot \upsilon _{\text{в}}\cdot B,\]
где \(  a=\frac{\upsilon _{\text{в}}^{2}}{L} \) — модуль центростремительного ускорения тела в верхней точке, υ_в — скорость тела в верхней точке, L — длина нити. Закон сохранения механической энергии для тела:
\[\frac{m\cdot \upsilon _{\text{н}}^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{\text{в}}^{2}}{2}+2m\cdot g\cdot L.\]
Сила Лоренца и сила натяжения нити не совершают работу, так как они в каждой точке траектории направлены перпендикулярно скорости.
Средний результат выполнения этой задачи составляет 10,3 %. При этом получили 3 балла, представив полностью верные выкладки, лишь 5 %, 3 % участников допустили погрешности в математических преобразованиях и расчетах и получили 2 балла. Еще 10 % смогли лишь частично верно записать основные уравнения.

Решение. Тело будем считать материальной точкой, так как по условию тело маленькое. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета (ИСО), связанной с поверхностью Земли.
Сделаем схематический чертеж. Тело изобразим в начальном и конечном положениях. На чертеже укажем параметры каждого положения тела: скорости υ_н и υ₁, высоты h₀ и h₁. За нулевую высоту примем нижнюю точку окружности h₀ = 0 м (см. рисунок).


Полная механическая энергия материальной точки в начальном состоянии
\[E_{\text{м0}}=E_{\text{м0}}+E_{\text{п т0}}=\frac{m\cdot \upsilon _{\text{н}}^2}{2},\]
где E_{п т0} = 0, так как тело движется на нулевой высоте (h₀ = 0).
Полная механическая энергия материальной точки в конечном состоянии
\[E_{\text{м1}}=E_{\text{м1}}+E_{\text{п т1}}=\frac{m\cdot \upsilon _1^2}{2}+m\cdot g\cdot 2L,\]
так как высота h₁ = 2L.
На тело действуют сила тяжести, которая является потенциальной, сила Лоренца F и сила натяжения нити T — непотенциальные силы. Cилы Лоренца F и натяжения нити T в каждой точке траектории перпендикулярны скорости тела υ (α = 90°). Следовательно, работа A_{непотенц} = 0 и для ИСО можем применять закон сохранения механической энергии:
\[E_{\text{м0}}=E_{\text{м1}},\]
\[\frac{m\cdot \upsilon _{\text{н}}^2}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _1^2}{2}+2m\cdot g\cdot L,\]
\[\upsilon _{\text{н}}^2=\upsilon _1^2+4g\cdot L.\ \ \ (1)\]
Найдем значение скорости υ₁ тела в верхней точке окружности. На тело в верхней точке действуют сила тяжести m·g, сила Лоренца F и сила натяжение нити T. Направление силы Лоренца определим по правилу левой руки — сила F направлена вверх. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок). В ИСО для материальной точки можем применять второй закон Ньютона, который запишем в векторном виде и в проекции на ось координат:
0Y: \[m\cdot \vec{a}=\vec{T}+m\cdot \vec{g}+\vec{F},\ \ 0Y:\ -m\cdot a={{T}_{y}}-m\cdot g+F,\]
где
\[a=\frac{\upsilon _1^2}{L},\ \ F=q\cdot \upsilon _1 \cdot B\cdot \sin \alpha =q\cdot \upsilon _1 \cdot B,\]
так как a — это центростремительное ускорение, а вектор магнитной индукции B которого перпендикулярен плоскости и угол α = 90°.
Для прохождения тела верхней точки окружности на гибком подвесе (нити) сила натяжения T подвеса в этой точке должна быть не меньше нуля, т.е. Т ≥ 0. При минимальном значении скорости υ_н шарика в нижней точке значение силы натяжения T нити в верхней точке так же будет минимально и равно Т_min = 0. Тогда
\[-m\cdot \frac{\upsilon _1^2}{L}=q\cdot \upsilon _1 \cdot B-m\cdot g,\ \ \upsilon _1^2+\frac{q\cdot B\cdot L}{m}\cdot \upsilon _1-g\cdot L=0.\]
Получили квадратное уравнение относительно υ₁. Тогда дискриминант и корни этого уравнения равны (учтем, что υ₁ > 0)
\[D=b^2-4a \cdot c={{\left( \frac{q\cdot B\cdot L}{m} \right)}^2}+4g\cdot L,\]
\[\upsilon _1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\]
\[\upsilon _1=\frac{-\frac{q\cdot B\cdot L}{m}+\sqrt{{{\left( \frac{q\cdot B\cdot L}{m} \right)}^2}+4g\cdot L}}{2}=\sqrt{{{\left( \frac{q\cdot B\cdot L}{2m} \right)}^2}+g\cdot L}-\frac{q\cdot B\cdot L}{2m}.\]
Подставим полученное выражение в уравнение (1) и найдем значение скорости υ_н:
\[\upsilon _{\text{н}}=\sqrt{\upsilon _1^2+4g\cdot L}=\sqrt{{{\left( \sqrt{{{\left( \frac{q\cdot B\cdot L}{2m} \right)}^2}+g\cdot L}-\frac{q\cdot B\cdot L}{2m} \right)}^2}+4g\cdot L}.\]