Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 16.
Столкнулись два одинаковых пластилиновых шарика, движущихся по гладкой горизонтальной поверхности, причём векторы их скоростей непосредственно перед столкновением были взаимно перпендикулярны и вдвое различались по модулю: υ₁ = 2υ₂. Какова скорость шариков после абсолютно неупругого столкновения, если перед столкновением скорость более быстрого шарика была равна по модулю 2 м/с?

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025. (https://web-physics.ru/smf/index.php?topic=673.0)

Информация ФИПИ. Обязательным элементом решения этой задачи была запись закона сохранения импульса в векторной форме при абсолютно неупругом столкновении
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{u},\]
где u — скорость шариков после столкновения. И только после этого, поскольку векторы импульсов шариков перед соударением были взаимно перпендикулярны, нужно было записать соотношение
\[{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2}+{{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2}= {{\left( 2m\cdot u \right)}^2}.\]
К сожалению, полностью выполнить требования к решению этой задачи смогли лишь 14 % участников экзамена.

Решение. Импульсы систему тел изменяются из-за их столкновения. До удара двигались тела отдельно друг от друга. После абсолютно неупругого удара тела двигались вместе.
Сделаем схематический чертеж. Пусть скорость υ₁ первого шарика до столкновения будет направлена вправо, а скорость υ₂ второго шарика — вниз (вид сверху). Направление скорости υ шариков после столкновения неизвестно. Оси 0X и 0Y направим так, как показано на рисунке 1.


Все тела будем считать материальными точками, так как они движутся поступательно.
Так как по условию шарики одинаковые, то их массы равны m₁ = m₂ = m.
До взаимодействия в системе двигались два тела раздельно, поэтому начальный импульс системы тел равен
\[\vec{p}_0=m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2.\ \ \ (1)\]
После взаимодействия в системе два тела двигались вместе. Тогда можем считать их как одно тело с массой 2m и скоростью υ, а конечный импульс системы тел равен
\[\vec{p}=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (2)\]
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Для системы тел «два шарика» равнодействующие внешних сил равны нулю (силы тяжести m·g скомпенсированы силами реакции опоры N). Тогда для данной системы материальных точек в ИСО можем записать закон сохранения импульса в векторном виде:
\[\vec{p}_0=\vec{p}.\]
С учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m \cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (3)\]
По условию υ₁ = 2υ₂, υ₁ = 2 м/с (более быстрый шарик). Тогда
\[\upsilon _2=\frac{\upsilon _1}{2}=\frac{2}{2}=1\ \text{м/с}.\]
1 способ (через проекции). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость шариков после столкновения будет равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+\upsilon _y^2}.\ \ \ (4)\]
Запишем уравнение (3) в проекциях на оси координат (см. рисунок):
\[0X:\ m\cdot \upsilon _1=2m\cdot \upsilon _x,\ \ \upsilon _x=\frac{\upsilon _1}{2},\]
\[0Y:\ m\cdot \upsilon _2=2m\cdot \upsilon _y,\ \ \upsilon _y=\frac{\upsilon _2}{2}.\]
Подставим полученные уравнения в уравнение (4) и учтем, что υ₁ = 2 м/с, υ₂ = 1 м/с:
\[\upsilon =\sqrt{\frac{\upsilon _1^2}{4}+\frac{\upsilon _2^2}{4}}=\sqrt{\frac{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}{4}},\ \ \upsilon =\sqrt{\frac{2^2+1^2}{4}}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (3) (см. рисунок 2).


Данный треугольник прямоугольный, в котором импульс 2m·υ является гипотенузой, а импульсы m·υ₁ и m·υ₂ — катеты. Тогда по теореме Пифагора получаем
\[2m\cdot \upsilon =\sqrt{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2+{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2},\ \ \upsilon =\frac{\sqrt{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}}{2},\]
\[\upsilon =\frac{\sqrt{2^2+1^2}}{2}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
Ответ: 1,12 м/с.