Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 8.
Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Напряжение между обкладками конденсатора изменяется во времени в соответствии с формулой U(t) = U_m·cos ω·t.
Приведённые ниже графики А и Б представляют зависимость физических величин, характеризующих электромагнитные колебания в контуре, от времени t (T — период колебаний). Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимость которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.


Ответ: ____.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025. (https://web-physics.ru/smf/index.php?topic=673.0)

Информация ФИПИ. Средний процент выполнения — 50 %.
Как показывает анализ вееров ответов, полностью верный ответ 12 смогли указать 37 % выпускников, почти треть определила первый график как заряд одной из обкладок конденсатора. Затруднения были либо в непонимании, что колебания заряда конденсатора и напряжение на нем синфазны, либо в недостаточной математической подготовке и непонимании аналитической формулы.

Анализ условия. 1) По условию задачи напряжение между обкладками конденсатора колебательного контура изменяется во времени в соответствии с формулой
\[U\left( t \right)=U_m\cdot \cos \omega \cdot t.\ \ \ (1)\]

Теория. Так как горизонтальные оси графиков в таблице условия — это оси времени 0t, то определим, как зависят от времени t движения все физические величины из таблицы условия.
1) Уравнение гармонического колебания заряда q обкладок конденсатора найдем через напряжение U между его обкладок:
\[C=\frac{q}{U}\ \ \text{или}\ \ q=C\cdot U.\]
С учетом уравнения (1) получаем
\[q\left( t \right)=C\cdot U_m\cdot \cos \omega \cdot t.\ \ \ (2)\]
2) Уравнение гармонического колебания силы тока I получим через уравнение заряда q следующим образом:
\[I\left( t \right)={{q}'_{t}}={{\left( C\cdot U_m\cdot \cos \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=-C\cdot U_m\cdot \omega \cdot \sin \omega \cdot t.\ \ \ (3)\]
3) Энергия электрического поля W_эл конденсатора колебательного контура равна
\[W_{\text{эл}}=\frac{C\cdot U^2}{2}.\]
С учетом уравнения (1) —
\[W_{\text{эл}}=\frac{C\cdot U_m^2\cdot \cos ^2 \omega \cdot t}{2}.\ \ \ (4)\]
4) Энергия магнитного поля W_магн катушки колебательного контура равна
\[W_{\text{магн}}=\frac{L\cdot I^2}{2}.\]
С учетом уравнения (3) —
\[W_{\text{магн}}=\frac{L\cdot C^2 \cdot U_m^2\cdot \omega ^2}{2} \cdot \sin ^2 \omega \cdot t.\ \ \ (5)\]
5) Период колебания контура и его частота равны T и ν соответственно. Так как энергии контура изменяются по законам cos² ω·t или sin² ω·t (см. уравнения (4) и (5)), то период T_энерг и частота ν_энерг изменения энергии контура будут равны
\[T_{\text{энерг}}=\frac{T}{2},\ \ \nu _{\text{энерг}}=2\nu .\ \ \ (6)\]

Решение. 1 способ. Определим для каждой физической величины из второго столбца таблицы условия соответствующий ей график из первого столбца таблицы.
1) Сила тока I в катушке.
Уравнение гармонического колебания силы тока I — это уравнение (3). Его график — синусоида, которая в первой четверти колебаний принимает отрицательные значения.
Этому описанию соответствует график А.

2) Энергия W_магн магнитного поля катушки.
Уравнение гармонического колебания энергии W_магн магнитного поля катушки — это уравнение (5). Его график — синусоида с удвоенной частотой (см. уравнение (6)), все значения которой только положительные.
Этому описанию соответствует график Б.

3) Энергия W_эл электрического поля конденсатора.
Уравнение гармонического колебания энергии W_эл электрического поля конденсатора — это уравнение (4). Его график — косинусоида с удвоенной частотой (см. уравнение (6)), все значения которой только положительные.
Этому описанию нет соответствующих графиков.

4) Заряд q одной из обкладок конденсатора.
Уравнение гармонического колебания заряда q одной из обкладок конденсатора — это уравнение (2). Его график — косинусоида, которая в начале колебаний принимает положительные значения.
Этому описанию нет соответствующих графиков.

2 способ. Определим для каждого графика из первого столбца таблицы условия соответствующую ему физическую величину из второго столбца таблицы.
График А. Это синусоида, которая в первой четверти колебаний принимает отрицательные значения, период колебаний которых равен T. Такой график соответствует уравнению (3) — уравнению колебаний силы тока I.
График соответствует величине 1.

График Б. Это синусоида, все значения которой только положительные, а период колебаний которых равен T/2, т.е. колебания происходят по закону sin² ω·t. Такой график соответствует уравнению (5) — уравнению колебаний магнитного поля W_магн катушки.
График соответствует величине 2.
Ответ: А1 Б2 или 12.