Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 29. На дифракционную решётку, имеющую 500 штрихов на 1 см, падает по нормали параллельный пучок белого света. Между решёткой и экраном вплотную к решётке расположена линза, которая фокусирует свет, проходящий через решётку, на экране. Чему равно расстояние от линзы до экрана, если ширина спектра второго порядка на экране равна 8 см? Длины красной и фиолетовой световых волн соответственно равны 8·10^–7 м и 4·10^–7 м. Считать угол φ отклонения лучей решёткой малым, так что sin φ ≈ tg φ ≈ φ.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, (https://web-physics.ru/smf/index.php?topic=496) подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

Комментарий ФИПИ. Здесь, кроме формул для периода дифракционной решетки и формулы для дифракционной решетки d·sin φ = k·λ, необходимо еще геометрическое соотношение x/L = k·λ/d, где x — расстояние от центра экрана до максимума данного порядка, L — расстояние от линзы до экрана, так как по условию sin φ ≈ tg φ. Кроме того, нужно обратить внимание учащихся на то, что расстояние от дифракционной решетки до экрана в условии задачи равно фокусному расстоянию линзы, поскольку в некоторых задачах это требуется для решения.

Решение. Запишем условие максимума освещенности для дифракционной решетки:
\[d \cdot \sin \beta =m \cdot \lambda ,\]
где \( d=\frac{x}{N}, \) x = 1 см = 10^–2 м — расстояние, на которое приходится N = 500 штрихов, m = 2 — порядок дифракционного максимума. С учетом условия получаем (см. рисунок 1), что
\[\sin \beta \approx tg \beta =\frac{h}{l}.\]
Тогда
\[\frac{x}{N} \cdot \frac{h}{l} \approx m \cdot \lambda ,\ \ h \approx \frac{N \cdot l \cdot m \cdot \lambda }{x}.\]
Запишем полученное выражения для двух крайних длин волн светового спектра: для λ₁ = 8·10^–7 м и λ₂ = 4·10^–7 м.
\[h_1 \approx \frac{N \cdot l \cdot m \cdot \lambda _1}{x},\ \ h_2 \approx \frac{N \cdot l \cdot m \cdot \lambda _2}{x}.\]
Тогда ширина спектра (см. рисунок 2) будем равна
\[\Delta h=h_1-h_2 \approx \frac{N \cdot l \cdot m \cdot \lambda _1}{x}-\frac{N \cdot l \cdot m \cdot \lambda _2}{x}=\frac{N \cdot l \cdot m \cdot \left( \lambda _1-\lambda _2 \right)}{x}.\]
В итоге получаем
\[l\approx \frac{\Delta h \cdot x}{N \cdot m \cdot \left( \lambda _1-\lambda _2 \right)},\]
Ответ: 2 м.