Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 19. В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см², под подвижным поршнем массой M = 1 кг с лежащим на нём грузом массой m = 0,5 кг находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте h₁ = 13 см от дна сосуда. На сколько изменится эта высота, если груз снять с поршня? Воздух считать идеальным газом, а его температуру — неизменной. Атмосферное давление равно 10⁵ Па. Трение между стенками и поршнем не учитывать.

Источник (https://web-physics.ru/smf/index.php?msg=719): Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

Решение. Обозначим давление газа (воздуха) под поршнем с грузом p₁, его объем V₁, температуру T₁. Параметры газа под поршнем без груза — p₂, V₂, T₂. По условию температура газа не меняется, поэтому T₁ = T₂ = T (см. рисунок).
Так как поршень подвижен без трения, то давление сверху и снизу поршня будут равны. На газ будет давить атмосфера и поршень с грузом. Поэтому давление газа в первом случае равно
\[p_1=p_{\text{атм}}+\frac{\left( m+M \right) \cdot g}{S}= \frac{p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g}{S}.\]
Если снять груз с поршня, то давление на газ уменьшится, и поршень поднимется вверх. А новое давление газа будет равно
\[p_2=\frac{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g}{S}.\]
Масса газа в цилиндре не меняется, не меняется и температура. Поэтому связать начальные и конечные параметры газа можно уравнением для изотермического процесса
\[p_1 \cdot V_1=p_2 \cdot V_2,\]
где V₁ = S·h₁ — первоначальный объем, V₂ = S·h₂ — конечный объем. Тогда
\[\frac{p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g}{S} \cdot S \cdot h_1 =\frac{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g}{S} \cdot S \cdot h_2,\]
\[\left( p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g \right) \cdot h_1=\left( p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g \right) \cdot h_2,\]
\[h_2=\frac{\left( p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g \right) \cdot h_1}{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g}.\]
По условию надо найти изменение высоты поршня, т.е.
\[\Delta h=h_2-h_1=\frac{\left( p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g \right) \cdot h_1}{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g}-h_1=\left( \frac{p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g}{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g}-1 \right) \cdot h_1=\]
\[=\frac{p_{\text{атм}} \cdot S+\left( m+M \right) \cdot g-\left( p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g \right)}{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g} \cdot h_1=\frac{m \cdot g \cdot h_1}{p_{\text{атм}} \cdot S+M \cdot g},\]
Ответ: высота поршня увеличилась на 1,1 см.