Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 14. Плоская монохроматическая световая волна с длиной волны 400 нм падает по нормали на дифракционную решётку. Параллельно решётке позади неё размещена собирающая линза. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Расстояние между её главными максимумами 1-го и 2-го порядков равно 16 мм. Найдите период решётки, если фокусное расстояние линзы равно 24 см. Считать для малых углов (φ « 1 в радианах) φ ≈ sin φ ≈ tg φ.
Ответ: ____ мкм.

Источник (https://web-physics.ru/smf/index.php?msg=719): Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

Авторские рекомендации. Чтобы решить задачу, нужны формулы для определения периода дифракционной решетки и для определения максимумов дифракционной решетки, которые хорошо известны выпускникам. Однако типичной ошибкой здесь было непонимание того, что расстояние от линзы до экрана в данном случае совпадает с фокусным расстоянием линзы, т.е.
\[\frac{x}{L}=\frac{k \cdot \lambda }{d},\]
где x — расстояние от центра экрана до главного максимума данного порядка, L = F — расстояние от линзы до экрана.

Решение. Условие максимума освещенности для дифракционной решетки
\[d \cdot \sin \beta =m \cdot \lambda .\]
С учетом условия получаем (см. рисунок 1), что
\[\sin \beta \approx tg \beta =\frac{h}{l},\]
где l = F (дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы, расстояние между решеткой и линзой на решение не влияет), h — расстояние от главной оптической оси линзы до максимума m-го порядка.
Тогда
\[d \cdot \frac{h}{F}=m \cdot \lambda ,\ \ h=\frac{m \cdot F\cdot \lambda }{d}. \;\;\;(1)\]
Запишем уравнение (1) для разных значений m₁ = 1 и m₂ = 2:
\[h_1=\frac{m_1 \cdot F \cdot \lambda }{d},\ \ h_2=\frac{m_2 \cdot F \cdot \lambda }{d}.\]
Расстояние между её главными максимумами 1-го и 2-го порядков равно (см. рисунок 2)
\[\Delta h=BC=AC-AB=h_2-h_1=\frac{m_2 \cdot F \cdot \lambda }{d}-\frac{m_1 \cdot F \cdot \lambda }{d}=\frac{\left( m_2-m_1 \right) \cdot F \cdot \lambda }{d}.\]
В итоге получаем
\[d=\frac{\left( m_2-m_1 \right) \cdot F \cdot \lambda }{\Delta h},\]
Ответ: 6 мкм.