Анализ условия. 1) По условию перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул аргона. Следовательно, часть гелия переходит из одной части сосуда в другу. Аргон остается в своей части сосуда.
Введем обозначения:
V1 и
V2 — это объемы частей сосуда;
p01 и
p02 — это начальные парциальные давления гелия и аргона соответственно;
p1,
p2 и
p3 — это конечные парциальные давления гелия и аргона; ν
01 и ν
02 — это начальные количества вещества гелия и аргона; ν
1, ν
2 и ν
3 — это конечные количества вещества гелия и аргона;
T1 и
T2 — температуры гелия и аргона (см. рисунок). С индексами «3» обозначены параметры гелия в правой части сосуда.
2) По условию сосуд разделён на две равные по объёму части неподвижной перегородкой, поэтому
V1 =
V2 =
V и они не изменяются.
3) По условию температура газов одинакова и остаётся постоянной, т.е.
T1 =
T2 =
T =
const.
4) Так как аргон остается в своей части сосуда, то его параметры не поменяются, т.е.
p02 =
p2, ν
02 = ν
2.
5) По условию количество вещества аргона ν
02 = 1 моль, масса гелия
m01 = 8 г. Тогда
\[\nu _{01}=\frac{{{m}_{01}}}{{{M}_{1}}}=\frac{8}{4}=2\ \text{}\text{,}\]
где
M1 = 4 г/моль — молярная масса гелия (см. Справочные данные, таблицу «Молярная масса»).
6) Гелий будет переходить во вторую часть сосуда до тех пор, пока парциальные давления гелия с двух сторон перегородки не станут одинаковыми, т.е.
p1 =
p3.
7) Количества вещества ν
3 гелия в правой части сосуда найдем из уравнений Менделеева-Клапейрона, которые запишем для гелия в конечном состоянии в левой части сосуда с параметрами
p1, ν
1,
V1,
T1 и в правой части сосуда с параметрами
p3, ν
3,
V2,
T2:
\[p_1 \cdot V_1=\nu _1 \cdot R \cdot T_1,\ \ p_3 \cdot V_2=\nu _3 \cdot R \cdot T_2,\]
где
V1 =
V2 =
V,
T1 =
T2 =
T,
p1 =
p3 =
p (см. анализ условия пункты 2, 3 и 6). Тогда
\[\nu _1=\frac{p_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1}=\frac{p \cdot V}{R \cdot T},\ \ \nu _3=\frac{p_3 \cdot V_2}{R \cdot T_2}=\frac{p \cdot V}{R \cdot T}.\]
Из данных уравнений получаем, что ν
1 = ν
3. Тогда
\[\nu _{01}=\nu _1+\nu _3=2\nu _3,\ \ \nu _1=\nu _3=\frac{\nu _{01}}{2}=\frac{2}{2}=1\ \text{моль}.\]
Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Внутренняя энергия гелия в сосуде больше, чем внутренняя энергия аргона.
Гелий и аргон — это одноатомные газ, поэтому их внутренние энергии
U можно рассчитать по формуле
\[U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot T.\]
По условию температуры газов равны
T1 =
T2 =
T (см. анализ условия пункт 3), количества вещества гелия ν
01 во всем сосуде больше, чем у аргона ν
02 (см. анализ условия пункт 5, ν
01 = 2 моль, ν
02 = 1 моль). Тогда из полученного уравнения следует, что внутренняя энергия
U1 гелия в сосуде больше, чем внутренняя энергия
U2 аргона.
Утверждение № 1
верное.
2) Концентрация гелия и аргона в правой части сосуда одинакова.
Концентрацию
n молекул газа равна
\[n=\frac{N}{V},\]
где число молекул
N газа найдем следующим образом
\[\nu =\frac{N}{N_A},\ \ N=\nu \cdot N_A.\]
Тогда
\[n=\frac{\nu \cdot N_A}{V}.\]
По условию газы находятся в одной части сосуда, т.е. у них один и тот же объем, а
NA — постоянная величина. Количества вещества гелия ν
3 в правой части сосуда равно количеству вещества аргона ν
02 (см. анализ условия пункт 7, ν
02 = 1 моль, ν
3 = 1 моль). Тогда из полученного уравнения следует, что концентрация гелия и аргона в правой части сосуда одинакова.
Утверждение № 2
верное.
3) В правой части сосуда общее число молекул газов в 2 раза меньше, чем в левой части.
Из уравнений для давления
p газа и его концентрации
n получаем
\[p=n \cdot k \cdot T,\ \ n=\frac{N}{V},\]
\[p=\frac{N}{V} \cdot k \cdot T,\ \ N=\frac{p \cdot V}{k \cdot T}.\]
В левой и правой частях сосуда равные объемы
V1 =
V2 и температуры
T1 =
T2 (см. анализ условия пункты 2 и 3),
k — постоянная величина. Так как парциальные давления гелия с двух сторон перегородки равны
p1 =
p3 (см. анализ условия пункт 6), то из полученного уравнения следует, что число молекул
N гелия в левой и правой частях сосуда так же равны. Но в правой части сосуда есть еще аргон, поэтому общее число молекул справа будет больше.
Утверждение № 3
неверное.
4) Внутренняя энергия гелия в сосуде в конечном состоянии больше, чем в начальном.
Гелий одноатомный газ и его внутренняя энергия
U равна
\[U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot T.\]
При переходе гелия из левой части сосуда в правую его количество вещества ν во всем сосуде и температура
T не изменяются, поэтому и внутренняя энергия
U гелия во всем сосуде так же изменяться не будет.
Утверждение № 4
неверное.
5) Давление в обеих частях сосуда одинаково.
В утверждении не указано про какое давление идет речь: в начальный момент времени или в конечный. Рассмотрим оба варианта.
В начальный момент времени давления газов будут равны
\[p_{01}=\frac{\nu _{01} \cdot R\cdot T_1}{V_1},\ \ p_{02}=\frac{\nu _{02}\cdot R \cdot T_2}{V_2}.\]
По условию в левой и правой частях сосуда равные объемы
V1 =
V2 и температуры
T1 =
T2 (см. анализ условия пункты 2 и 3), а количество вещества гелия ν
02 = 2 моль больше, чем количество вещества аргона ν
02 = 1 моль (см. анализ условия пункты 3 и 5). Тогда
\[p_{01}>p_{02}.\]
В конечный момент времени парциальные давления гелия с двух сторон перегородки равны
p1 =
p3 (см. анализ условия пункт 6). Но в правой части сосуда находится еще аргон с давлением
p2. Тогда давление слева —
pлев =
p1, а давление справа по закону Дальтона равно
pправ =
p1 +
p2. В итоге получаем, что
\[p_{\text{лев}}<p_{\text{прав}}.\]
Следовательно, давления не равны и в начальный момент времени, и в конечный.
Утверждение № 5
неверное.
Ответ: 12.