Решение. Сделаем схематический чертеж. За нулевую высоту примем высоту, с которой бросают тело. На максимальной высоте скорость тела υ направлена горизонтально, υ
y = 0 (см. рисунок).
Полная механическая энергия тела
в начальном состоянии\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{к0}}+E_{\text{п т0}}+E_{\text{т у0}},\]
где
Eп т0 = 0, т.к. тело брошено с нулевой высоты (
h0 = 0),
Eп у0 = 0, т.к. тело, по умолчанию, не деформировано, \( E_{\text{к0}}=\frac{m \cdot \upsilon _0^2}{2}. \) Получаем
\[E_{\text{мех0}}=\frac{m \cdot \upsilon _0^2}{2}.\]
Полная механическая энергия тела
в конечном состоянии\[E_{\text{мех}}=E_{\text{к}}+E_{\text{п т}}+E_{\text{п у}},\]
где
Eп т — потенциальная энергия тела, которую надо найти,
Eп у = 0, т.к. тело, по умолчанию, не деформировано, \( E_{\text{к}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2},\ \ \upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+ \upsilon _y^2}=\upsilon _x=\upsilon _{0x}=\upsilon _0 \cdot \cos \alpha \) (на максимальной высоте υ
y = 0, а по горизонтали скорость тела не изменяется). Получаем
\[E_{\text{мех}}=E_{\text{п т}} +\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}=E_{\text{п т}}+\frac{m \cdot \left( \upsilon _0 \cdot \cos \alpha \right)^2}{2}.\]
Непотенциальные (внешние) силы в задаче не учитываются, поэтому запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[E_{\text{мех0}}=E_{\text{мех}},\ \ \frac{m \cdot \upsilon _0^2}{2}=E_{\text{п т}} +\frac{m \cdot \left( \upsilon _0 \cdot \cos \alpha \right)^2}{2},\]
\[E_{\text{п т}}=\frac{m \cdot \upsilon _0^2}{2}-\frac{m \cdot \left( \upsilon _0 \cdot \cos \alpha \right)^2}{2}=\frac{m \cdot \upsilon _0^2}{2} \cdot \left( 1- \cos ^2 \alpha \right).\]
Потенциальная энергия мячика увеличилась на
\[\Delta E_{\text{п т}}=E_{\text{п т}}-E_{\text{п т0}}=E_{\text{п т}}=\frac{m \cdot \upsilon _0^2}{2} \cdot \left( 1-\cos ^2 \alpha \right).\]
Ответ: на 2,5 Дж.