Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 31. На дне кастрюли с водой неподвижно закреплен шарнир малых размеров. К шарниру прикреплен нижним концом тонкий однородный стержень AB постоянного поперечного S = 0,25 см². Он может без трения поворачиваться на шарнире в плоскости рисунка. Толщина слоя воды в кастрюле h = 10 см. В равновесии стержень образует с вертикалью угол α = 30º. Плотность воды ρ₀ = 10³ кг/м³, плотность материала стержня ρ = 600 кг/м³. Найдите величину и направление силы F, с которой стержень в равновесии действует на шарнир. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень AB. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Источник (https://web-physics.ru/smf/index.php?msg=439). Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

Рекомендации Демидовой М.Ю.
Обязательными элементами обоснования являются следующие:
- инерциальная система отсчета;
- модель твердого тела;
- применение условия для моментов сил относительно вращения;
- рисунок с указанием сил, действующих на тела;
- направление силы N и взаимосвязь F и N.

Обоснование
1. Выберем систему отсчета, неподвижно связанную с Землей, и будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).
2. Стержень будем считать твердым телом с осью вращения, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку A. Условия равновесия твердого тела — равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси и равенство нулю суммы сил, приложенных к телу.
3. На стержень действует три силы: сила тяжести m·g, сила Архимеда F_A и сила реакции шарнира N. Силы m·g и F_A направлены вертикально, поэтому из пункта 2 следует, что и сила N направлена вертикально.
4. Силы F и N связаны третьим законом Ньютона: \( \vec{F}=-\vec{N}, \) поэтому сила F тоже направлена по вертикали.

Решение. Запишем условие равновесия стержня относительно точки А (момент силы N равен 0):
\[M_D+M_E=0.\]
Запишите моменты для каждой силы, определив их плечи и знаки.
Плечо силы F_A равно \( l_1=AD=\frac{h}{2} \cdot tg \alpha  \) (сила F_A приложена к середине погруженной части стержня, т.е. находится на высоте h/2). Данная сила стремится вращать рычаг против часовой стрелки, поэтому
\[M_D=\frac{F_A \cdot h}{2} \cdot tg \alpha .\]
Плечо силы тяжести m·g равно \( l_2=AE=\frac{l}{2} \cdot \sin \alpha  \) (сила m·g приложена к середине стержня длиной l). Данная сила стремится вращать рычаг по часовой стрелке, поэтому
\[M_C=-m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha .\]
Тогда
\[\frac{F_A \cdot h}{2} \cdot tg \alpha -m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha =0,\]
\[F_A \cdot h \cdot tg \alpha -m \cdot g \cdot l \cdot \sin \alpha =0.\ \ \ (1)\]
Сила Архимеда и масса стержня равны
\[F_A=\rho _0 \cdot g \cdot V_{\text{погр}},\ \ m=\rho \cdot V.\]
Объем стержня V и объем погруженной части V_погр найдем следующим образом:
\[V=S \cdot l,\ \ l=AB,\ \ V_{\text{погр}}=S \cdot l_1,\ \ l_1=AC=\frac{h}{\cos \alpha }.\]
Тогда
\[F_A=\rho _0 \cdot g \cdot \frac{S \cdot h}{\cos \alpha },\ \ \ (2)\]
\[m=\rho \cdot S \cdot l.\ \ \ (3)\]
После подстановки в уравнение (1) получаем
\[\rho _0 \cdot g \cdot \frac{S \cdot h^2}{\cos \alpha } \cdot tg \alpha -\rho \cdot S \cdot l^2 \cdot g \cdot \sin \alpha =0,\]
\[\frac{\rho _0 \cdot h^2}{\cos ^2 \alpha }-\rho \cdot l^2 =0.\ \ \ (4)\]
Так как сила F_A > m·g (плечо силы F_A меньше плеча силы m·g), то сила реакции шарнира N будет направлена в ту же сторону, что и сила тяжести m·g, т.е. вниз.
Запишем условие равновесия стержня через силы
\[0=\vec{F}_A+m \cdot \vec{g}+\vec{N},\ \ 0Y:\ \ 0=F_A-m \cdot g-N.\]
С учетом уравнений (2) и (3) получаем
\[N=F_A-m \cdot g=\rho _0 \cdot g \cdot \frac{S \cdot h}{\cos \alpha }-\rho \cdot S \cdot l \cdot g=\left( \frac{\rho _0 \cdot h}{\cos \alpha }-\rho \cdot l \right) \cdot S \cdot g.\ \ \ (5)\]
Решим систему уравнений (4) и (5). Например,
\[l=\sqrt{\frac{\rho _0 \cdot h^2}{\rho \cdot \cos ^2 \alpha }}=\frac{h}{\cos \alpha } \cdot \sqrt{\frac{\rho _0}{\rho }},\]
\[F=N=\left( \frac{\rho _0 \cdot h}{\cos \alpha }-\rho \cdot \frac{h}{\cos \alpha } \cdot \sqrt{\frac{\rho _0}{\rho }} \right) \cdot S \cdot g=\left( \rho _0-\sqrt{\rho _0 \cdot \rho } \right) \cdot \frac{S \cdot g \cdot h}{\cos \alpha },\]