Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 28. Груз массой M = 800 г соединен невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой m = 400 г. К этому бруску на легкой пружине жесткостью k = 80 Н/м подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины l = 10 см, коэффициент трения груза о поверхность стола μ = 0,2. Определите длину пружины при движении брусков, считая, что при этом движении она постоянна. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Источник (https://web-physics.ru/smf/index.php?msg=439). Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

Рекомендации Демидовой М.Ю.
В этом случае обязательными элементами обоснования являются следующие:
- инерциальная система отсчета;
- модель материальной точки;
- условия равенства сил натяжения нитей и равенства упругих сил;
- равенства ускорений тел;
- рисунок с указанием сил, действующих на тела.

Обоснование. 1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью стола.
2. Будем применять для грузов и бруска законы Ньютона, справедливые для материальных точек, поскольку тела движутся поступательно.
3. Трением в оси блока и трением о воздух, а также массой блока пренебрежем.
4. Так как нить нерастяжима и длина пружины постоянна, ускорения обоих брусков и груза равны по модулю: |a₁| = |a₂| = |a₃| = a.
5. На рисунке показаны силы, действующие на бруски и груз.
6. Так как блок и нити невесомы, а трение отсутствует, то модули сил натяжения нити, действующих на груз и верхний брусок, одинаковы: |T₁| = |T₂| = T.
7. Равны по модулю и силы |F_упр2| = |F_упр3|, так как пружина легкая.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела
\[M \cdot \vec{a}=\vec{T}+M \cdot \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{\text{тр}},\ \ m \cdot \vec{a}= \vec{T}+m \cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{упр}},\]
\[m \cdot \vec{a}=m \cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{упр}},\]
\[0X:\ \ M \cdot a=T-F_{\text{тр}},\ \ 0Y:\ \ 0=M \cdot g-N,\ \ N=M \cdot g,\]
\[m \cdot a=-T+m \cdot g+F_{\text{упр}},\ \ m \cdot a=m \cdot g-F_{\text{упр}},\]
где \( F_{\text{тр}}= \mu \cdot N= \mu \cdot M \cdot g,\ \ F_{\text{упр}}=k \cdot x. \) Решим систему полученных уравнений и найдем x. Например,
\[\left( M+2m \right) \cdot a=T-F_{\text{тр}}+\left( -T \right)+m \cdot g+F_{\text{упр}}+m \cdot g-F_{\text{упр}}=2m \cdot g-F_{\text{тр}},\]
\[a=\frac{2m \cdot g-F_{\text{тр}}}{M+2m}=\frac{\left( 2m-\mu \cdot M \right) \cdot g}{M+2m},\]
\[F_{\text{упр}}=m \cdot \left( g-a \right)=m \cdot \left( g-\frac{\left( 2m-\mu \cdot M \right) \cdot g}{M+2m} \right)=\]
\[=m \cdot g \cdot \frac{M+2m-\left( 2m-\mu \cdot M \right)}{M+2m}=m \cdot g \cdot M \cdot \frac{1+\mu }{M+2m},\]
\[x=\frac{F_{\text{упр}}}{k}=\frac{m \cdot g \cdot M \cdot \left( 1+\mu \right)}{k \cdot \left( M+2m \right)},\]
\[L=l+x=l+\frac{m \cdot g \cdot M \cdot \left( 1+\mu \right)}{k \cdot \left( M+2m \right)},\]