Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 22. Квадрат со стороной a = 20 см лежит в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 2,5 дптр так, что одна из его диагоналей перпендикулярна главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от центра квадрата до плоскости линзы d₁ = 80 см. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.

На линии 28 предлагались задачи по оптике. Затруднения вызвали два сюжета: изменение изображения при повороте собирающей линзы на некоторый угол (12%) и расчет площади изображения фигуры в виде квадрата, две вершины которого находятся на главной оптической оси (7%).
Многие участники считали, что изображением квадрата должен быть квадрат и это приводило к «подгонке» построения под эти неверные предпосылки. Основной сложностью, как и в прошлые года, остается построение изображения точек, лежащих на главной оптической оси с использованием побочных осей. Зачастую встречаются рисунки, где выпускники пытаются «достроить» привычные стрелочки к таким точкам и затем использовать привычный набор основных лучей. Такие ответы принимались как верные (в случае правильных построений), но для выпускников профильных классов требуется умение пользоваться побочной оптической осью при таких построениях.

Источник (https://web-physics.ru/smf/index.php?msg=439). Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

Решение Демидовой М.Ю. В этом случае самым сложным оказалось построение изображения для предложенной ситуации. Для оптимального построения изображения квадрата нужно было провести три параллельных луча через вершины квадрата A, B и C, а также параллельную им побочную оптическую ось. Проведенные лучи после преломления линзой пересекаются в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. Точки пересечения с главной оптической осью линзы двух преломленных лучей дадут изображения A₁ и C₁ точек A и C квадрата. Для получения изображения точки B необходимо построить еще одну побочную ось, которая пересекает третий преломленный луч и дает изображение B₁. В силу симметрии предмета относительно главной оптической оси его изображение также будет симметричным. В результате построений получим изображение квадрата ABCD в виде симметричного четырехугольника A₁B₁C₁D₁ (см. рисунок).

Дополнение. Запишем уравнение тонкой линзы для данного случая:
\[\frac{1}{F}=D=\frac{1}{d}+\frac{1}{f},\ \ \ (1)\]
где по условию линза собирающая, поэтому перед F ставим знак «+»; предмет действительный — перед d ставим знак «+», изображение действительное — перед f ставим знак «+».
Площадь четырехугольника A₁B₁C₁D₁ можно найти как сумму площадей нескольких фигур. Например, или 1 вариант (ΔA₁C₁D₁ и ΔA₁B₁C₁), или 2 вариант (ΔA₁B₁D₁ и ΔB₁C₁D₁).
Воспользуемся первым вариантом. В силу симметрии площади ΔA₁C₁D₁ и ΔA₁B₁C₁) равны, поэтому
\[S_{A1B1C1D1}=2S_{A1C1D1}=2 \cdot \frac{A_{1}C_1 \cdot \frac{B_{1}D_1}{2}}{2}=\frac{A_{1}C_1 \cdot B_{1}D_1}{2}.\ \ \ (2)\]
Найдем значение B₁D₁. Запишем уравнение (1) и формулу поперечного увеличения для отрезка BD (см. рисунок 2)
\[D=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1},\ \ \Gamma =\frac{B_{1}D_1}{BD}=\frac{f_1}{d_1},\]
где d₁ = 0,8 м, \( BD=a\cdot \sqrt{2} \) — диагональ квадрата со стороной a = 0,2 м. Решим систему этих уравнений. Например,
\[\frac{1}{f_1}=D-\frac{1}{d_1}=\frac{D \cdot d_1 -1}{d_1},\ \ f_1=\frac{d_1}{D \cdot d_1 -1},\]
\[B_{1}D_1=\frac{f_1}{d_1} \cdot BD=\frac{BD}{D \cdot d_1-1}= \frac{a \cdot \sqrt{2}}{D \cdot d_1-1},\]
B₁D₁ = 0,2828 м = 28,28 см.
Найдем значение A₁C₁. Запишем уравнение (1) для точек A и С (см. рисунок 2)
\[D=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2},\ \ D=\frac{1}{d_3}+\frac{1}{f_3},\]
где \( d_2=d_1+\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2},\ \ d_3=d_1-\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2},\ \ \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2}\ - \) половина диагонали квадрата со стороной a = 0,2 м. Найдем значения f₂ и f₃ из полученных уравнений
\[\frac{1}{f_2}=D-\frac{1}{d_2}=\frac{D \cdot d_2-1}{d_2},\ \ f_2=\frac{d_2}{D \cdot d_2-1},\ \ f_3=\frac{d_3}{D \cdot d_3-1}.\]
\[f_2=\frac{d_1+\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2}}{D \cdot \left( d_1+\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2} \right)-1}=\frac{2d_1+a \cdot \sqrt{2}}{D \cdot \left( 2d_1+a \cdot \sqrt{2} \right)-2},\]
f₂ = 0,6955 м = 69,55 см.
\[f_3=\frac{d_1-\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2}}{D \cdot \left( d_1-\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2} \right)-1}=\frac{2d_1-a \cdot \sqrt{2}}{D \cdot \left( 2d_1-a \cdot \sqrt{2} \right)-2},\]
f₃ = 1,0188 м = 101,88 см.
Отрезок A₁C₁ будет равен (см. рисунок 2)
\[A_{1}C_1=f_3-f_2,\]
A₁C₁ = 32,33 см.
Подставим полученные значения A₁C₁ и B₁D₁ в уравнения (2) и получим:
S(A₁B₁C₁D₁) = 457 см².
Ответ: 457 см².