Форум "ЕГЭ по физике"

Пример 2. Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x = A·cos (2π·t/T), где период T = 1 с. Через какое минимальное время начиная с момента t = 0 потенциальная энергия маятника уменьшится вдвое?
Ответ: ____ с.

Средний процент выполнения задания — 28.
Судя по выполнению других заданий, формулу для потенциальной энергии выпускники знают хорошо, поэтому сложности здесь были связаны с применением математики.

Источник (https://web-physics.ru/smf/index.php?msg=439). Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

Решение. Потенциальная энергия пружинного маятника равна
\[W=\frac{k \cdot x^2}{2}.\]
Запишем данное уравнение для двух значений смещения x: 1) для x₁ в момент t₁ = 0 и 2) для x₂ в момент t₂, который надо найти:
\[W_1=\frac{k \cdot x_1^2}{2},\ \ W_2=\frac{k \cdot x_2^2}{2},\]
где по условию W₁ = 2W₂ и
\[x_1=A \cdot \cos \frac{2\pi \cdot t_1}{T}=A \cdot \cos \ 0=A,\ \ x_2=A \cdot \cos \frac{2\pi \cdot t_2}{T}.\]
Решим систему полученных уравнений. Например,
\[\frac{k \cdot x_1^2}{2}=2 \cdot \frac{k \cdot x_2^2}{2},\ \ x_2=\frac{x_1}{\sqrt{2}}=\frac{A}{\sqrt{2}}=\frac{A \cdot \sqrt{2}}{2},\]
\[\frac{A \cdot \sqrt{2}}{2}=A \cdot \cos \frac{2\pi \cdot t_2}{T},\ \ \cos \frac{2\pi \cdot t_2}{T}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Минимальное значение времени t₂ будет, если
\[\frac{2\pi \cdot t_2}{T}= 45^\circ =\frac{\pi }{4},\ \ t_2=\frac{T}{8},\]
Ответ: 0,125 с.